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2024-2025学年陕西省西安市铁一中学高二（上）期末数学试卷

试卷总分:120分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(8小题共40分)

1. （本题5分）过两点A（5，y），B（3，﹣1）的直线的倾斜角是135°，则y等于（　　）

A.2

B.﹣2

C.．3

D.．﹣3

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2. （本题5分）已知四面体O﹣ABC，G是△ABC的重心，若

，则x+y﹣2z＝（　　）

A.0

B.．

C.．

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3. （本题5分）已知双曲线

的右焦点与抛物线y²＝8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（　　）

C.．

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4. （本题5分）数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当x较大时，

（x∈N^*，常数γ＝0.557…）．利用以上公式，可以估算

的值为（　　）

A.ln50

B.﹣ln5

C.．ln5

D.﹣ln50

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5. （本题5分）如图，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为2，线段B₁D₁上有两个动点E，F，且

，则下列结论中错误的是（　　）

A.AC⊥BE

B.EF∥平面ABCD

C.直线AB与平面BEF所成的角为定值

D.异面直线AE，BF所成的角为定值

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6. （本题5分）数列{a_n}满足a₁＝2，

，其前n项积为T_n，则T₁₀等于（　　）

C.．6

D.．﹣6

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7. （本题5分）已知α、

，则“

”是“

”的（　　）

A.．充分不必要条件	B.必要不充分条件
C.．充要条件	D.既不充分也不必要条件

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8. （本题5分）如图所示，已知抛物线

过点（2，4），圆

．过圆心C₂的直线l与抛物线C₁和圆C₂分别交于P、Q、M、N，则|PM|+9|QN|的最小值为（　　）

A.22

B.．24

C.．21

D.．23

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二、多选题(3小题共15分)

9. （本题5分）已知空间中三点A（0，1，1），B（2，2，1），C（2，1，0），则（　　）

B.方向上的单位向量是

C.是平面ABC的一个法向量

D.在上的投影向量的模为

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10. （本题5分）设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂₀₂₅＞0，且a₂₀₂₄+a₂₀₂₇＜0，则（　　）

A.是等比数列

B.．是递增的等差数列

C.．当S_n＞0时，n的最大值为4048

D.．

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11. （本题5分）法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆

的蒙日圆为

，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则（　　）

A.．椭圆Γ的离心率为

B.．△MPQ面积的最大值为

C.．M到Γ的左焦点的距离的最小值为

D.若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k₁，k₂，则

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三、填空题(3小题共15分)

12. （本题5分）已知函数

且f（a）＝﹣3，则a＝　　．

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13. （本题5分）已知向量

且

共面，则

＝　．

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14. （本题5分）已知F₁，F₂分别为双曲线

的左，右焦点，过点F₁的直线与双曲线C的左支交于P，Q两点，记△PF₁F₂的内切圆半径为m，△QF₁F₂的内切圆半径为n，若mn＝3a²，则双曲线C的离心率为　

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四、解答题(5小题共50分)

15. （本题10分）已知圆C经过点A（﹣2，3）和B（0，1），且圆心C在直线x+y+1＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）过点P（﹣1，3）的直线l与圆C相交于M，N两点，若

，求直线l的方程．

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16. （本题10分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，

，a₁＝1．
（1）证明：数列

为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和为S_n；
（3）若S_n≤2a_n﹣4n﹣λ对任意n∈N^*恒成立．求实数λ的取值范围．

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17. （本题10分）已知抛物线C₁：y²＝4x和C₂：x²＝2py（p＞0）的焦点分别为F₁，F₂，点P（﹣1，﹣1），且F₁F₂⊥OP（O为坐标原点）．
（I）求抛物线C₂的方程；
（II）过点O的直线交C₁的下半部分于点M，交C₂的左半部分于点N，求△PMN面积的最小值．

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18. （本题10分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AB＝AC＝CD＝2BE＝4，BE∥CD，CD⊥CB，AB⊥AC，平面ABC⊥平面BCDE，O为BC中点．
（1）证明：AO⊥平面BCDE；
（2）求平面ABC与平面ADE夹角的余弦值；
（3）线段AC上是否存在一点Q，使OQ∥平面ADE？如果不存在，请说明理由；如果存在，求

的值．

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19. （本题10分）极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的．对于椭圆

，极点P（x₀，y₀）（不是坐标原点）对应的极线为

．已知椭圆

的长轴长为

，左焦点与抛物线y²＝﹣12x的焦点重合，对于椭圆E，极点P（﹣6，0）对应的极线为l_P，过点P的直线l与椭圆E交于M，N两点，在极线l_P上任取一点Q，设直线MQ，NQ，PQ的斜率分别为k₁，k₂，k₃（k₁，k₂，k₃均存在）．
（1）求极线l_P的方程；
（2）求证：k₁+k₂＝2k₃；
（3）已知过点Q且斜率为2的直线与椭圆E交于A，B两点，直线PA，PB与椭圆E的另一个交点分别为C，D，证明直线CD恒过定点，并求出定点的坐标．

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2025-02-12

高中数学 | 考试 | 难度:2.37

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