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德优网2025陕西省西安市碑林区西工大附中高中数学段考期末高二上

2024-2025学年陕西省西安市西工大附中高二（上）期末数学试卷

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(8小题共40分)

1. （本题5分）已知向量

，

，且

，则x+y＝（　　）

A.1

B.．0

C.．﹣1

D.．﹣2

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2. （本题5分）已知直线l₁：ax+（1+a）y﹣3＝0与l₂：ax﹣2ay﹣2＝0互相垂直，则a＝（　　）

A.﹣2或0

B.﹣1

C.0

D.﹣2

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3. （本题5分）已知函数

，若f′（1）＝0，则k＝（　　）

A.e

C.．1

D.．﹣e

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4. （本题5分）设等差数列{a_n}的公差为d，若a₂+a₁₀＝16，a₆a₁₀＝96，则d＝（　　）

A.4

B.．3

C.．2

D.．1

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5. （本题5分）过直线y＝x+1上一动点P作圆M：（x﹣5）²+y²＝2的一条切线l，切点为A，则线段PA长度的最小值为（　　）

A.．6

B.．4

C.．

D.．

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6. （本题5分）洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”．现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（　　）

A.16

B.．32

C.．48

D.．64

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7. （本题5分）已知P是抛物线y²＝4x上一动点，若点P到y轴的距离为d₁，到圆C：（x+2）²+（y﹣2）²＝1上的动点Q的距离为d₂，则d₁+d₂的最小值为（　　）

A.．

B.．

C.．

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8. （本题5分）阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》中给出了椭圆的一个基本性质：如图，过椭圆上任意一点P作长轴AB的垂线（点P与点A，B均不重合），垂足为Q，则

为常数k．若

，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）

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二、多选题(3小题共18分)

9. （本题6分）已知平面α过点A（1，1，1），其法向量为

＝（﹣1，﹣1，3），则下列各点在平面α内的有（　　）

A.（2，3，2）

B.（2，﹣3，2）

C.（2，﹣1，0）

D.．（1，﹣2，0）

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10. （本题6分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n₊₁＝3a_n+2，且S₂＝26，则（　　）

A.a₁＝2

B.{a_n+1}是等比数列

C.是等差数列

D.存在r，s，t且r＜s＜t，使得a_r，a_s，a_t成等差数列

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11. （本题6分）已知曲线

，则（　　）

A.C不经过第二象限

B.．当x≥0，y≤0时，C上任一点到坐标原点的距离均相等

C.．C上点的横坐标的取值范围是[﹣2，2]

D.C上任一点到直线y＝x的距离的取值范围是（0，2]

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三、填空题(3小题共15分)

12. （本题5分）已知空间中的三点A（3，0，0），B（0，3，3），C（0，1，0），则直线AC与AB所成角的余弦值为　．

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13. （本题5分）若

，则f′（1）＝　　．

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14. （本题5分）已知P为直线x﹣y﹣3＝0上一动点，过点P作椭圆

的两条切线，切点分别为A，B，若直线AB与x轴的正半轴、y轴的负半轴分别交于点C，D，则△OCD（O为坐标原点）面积的最小值为　．
附：椭圆

在其上一点（x₀，y₀）处的切线方程为

．

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四、解答题(5小题共77分)

15. （本题15分）已知等差数列{a_n}满足a₂+a₅＝12，a₆＝11，正项等比数列{b_n}满足

．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求{b_n}的前n项积T_n．

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16. （本题15分）已知函数f（x）＝x³﹣（a+1）x²+a（a+1）x（a∈R）的图象在原点处的切线的斜率为2．
（1）求a的值；
（2）若a＞0，求曲线y＝f（x）的过点A（1，1）的切线方程．

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17. （本题15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，

，AB⊥AE，BC⊥CD，CD⊥DE，且平面ABE⊥平面BCDE，∠EBC＝45°，O为BE的中点．
（1）证明：AO⊥CD；
（2）求二面角C﹣AB﹣E的正弦值．

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18. （本题15分）已知数列{a_n}满足na_n₊₁﹣（n+1）a_n＝n（n+1），且a₁＝1．
（1）证明

是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足

，求{b_n}的前n项和S_n；
（3）若存在n∈N^*，使得不等式

成立，求实数λ的取值范围．

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19. （本题17分）已知双曲线

的右焦点为F（3，0），右顶点为A，直线l：x＝1与x轴交于点E，且

．
（1）求C的方程；
（2）若G为l上不同于点E的动点，直线GF交y轴于点H，过点G作C的两条切线GP，GQ，分别交y轴于点P，Q，交x轴于点M，N．
（i）证明：|PH|＝|QH|；
（ii）证明：

（S表示面积）．

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2025-02-18

高中数学 | 段考 | 难度:1.32

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