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德优网2024陕西省西安市雁塔区师大附中高中数学考试期末高一下

2023-2024学年陕西师大附中高一（下）期末数学试卷

试卷总分:150分    命题人:dygzsxyn    考试时长:120分钟

一、选择题(8小题共40分)
1. （本题5分） 设i为虚数单位，复数z满足（1+i）z＝﹣1+i，则z•为（　　）
A.       
B.1         
C.3         
D.．
 
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2. （本题5分） 一组数据27，12，15，14，31，17，19，23，10，35的上四分位数是（　　）
A.17        
B.19        
C.．27      
D.．31
 
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3. （本题5分） 已知点A（﹣2，1，﹣4），点A关于x轴的对称点的坐标为（　　）
A.（﹣2，﹣1，﹣4）             
B.（﹣2，﹣1，4）   
C.（2，1，4）                   
D.（2，﹣1，﹣4）
 
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4. （本题5分） 已知向量，，，，，则＝（　　）
A.     
B.．2        
C.4         
D.．
 
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5. （本题5分） 已知直线l过点A（1，﹣1，﹣1），且方向向量为，则点P（1，1，1）到l的距离为（　　）
A.．    
B.．      
C.．     
D.．
 
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6. （本题5分） 如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝（　　）

A.        
B.．       
C.        
D.．
 
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7. （本题5分） 已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB﹣bcos2A＝c且△ABC外接圆半径为2，则的取值范围是（　　）
A.
B.
C.
D.．
 
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8. （本题5分） 柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量＝（x1，y1），＝（x2，y2），由得到，当且仅当x1y2＝x2y1时取等号．现已知a≥0，b≥0，a+b＝5，则的最大值为（　　）
A.18        
B.．9        
C.．   
D.．
 
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二、多选题(4小题共20分)
9. （本题5分） 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（　　）

A.若A＞B，则sinA＞sinB   

B.若a＝4，b＝5，c＝6，则△ABC为钝角三角形

C.．若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形  

D.．若，则符合条件的三角形不存在

 
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10. （本题5分） 某学校为了解高三学生的体重情况，采用分层随机抽样的方法从高三800名学生中抽取了一个容量为80的样本．其中，男生平均体重为64千克，方差为124；女生平均体重为48千克，方差为140，男女人数之比为5：3，下列说法正确的是（　　）

A.样本为该学校高三的学生  

B.．每一位学生被抽中的可能性为 

C.该校高三学生平均体重58千克 

D.该校高三学生体重的方差为190

 
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11. （本题5分） 三棱锥P﹣ABC中，已知PO⊥平面ABC，垂足为O，连接OA，OB，OC，则下列说法正确的是（　　）

A.若，则O为△ABC的重心   

B.若，则O为△ABC的内心

C.．若三侧棱与底面所成夹角相等，则O为△ABC的外心 

D.．若三侧面与底面所成夹角相等，则O为△ABC的垂心

 
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12. （本题5分） 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成，体现了数学的对称美．如图，二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若它的所有棱长都为，则（　　）

A.被截正方体的棱长为2 

B.．被截去的一个四面体的体积为  

C.．该二十四等边体的体积为 

D.该二十四等边体外接球的表面积为8π

 
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三、填空题(4小题共20分)
13. （本题5分） 若，则|z|的最大值为      　．
 
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14. （本题5分） 已知正三棱柱的高与底面边长均为2，则该正三棱柱内半径最大的球半径为 　     ．
 
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15. （本题5分） 如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测量得∠CDB＝120°，CD＝30米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为30°，45°，则塔高AB＝　      　．

 
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16. （本题5分） 如图，边长为4的正方形ABCD中，半径为1的动圆Q的圆心Q在边CD和DA上移动（包含端点A，C，D），P是圆Q上及其内部的动点，设＝m（m，n∈R），则m+n的取值范围是　       　．

 
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四、解答题(5小题共70分)
17. （本题10分） 为了调查疫情期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成6组，其频率分布直方图如图所示．
（1）求图中a的值；
（2）试估计本次数学测试成绩的平均分．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

 
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18. （本题13分） 在三棱锥P﹣ABCD中，底面ABC为直角三角形，AB＝BC，PA⊥平面ABC．
（1）证明：BC⊥PB；
（2）若D为AC的中点，且PA＝2AB＝4，求点D到平面PBC的距离．

 
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19. （本题15分） 蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D为边BC上靠近B点的三等分点，∠ADC＝60°，AD＝2．
（1）若∠ACD＝45°，求三角形手巾的面积；
（2）当取最小值时，请帮设计师计算BD的长．

 
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20. （本题15分） 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三角形，，点M，N分别为DP和AB的中点．
（1）求证：MN∥平面PBC；
（2）求证：平面PBC⊥平面ABCD；
（3）求CM与平面PAD所成角的正弦值．

 
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21. （本题17分） 如果对于平面上任意一个向量，按照某种确定的关系f，都有唯一确定的平面向量和它对应，那么就称f为平面向量的一个变换，记作（或（u，v）＝f（x，y））．
记，，
若（i），都有；
（ii），（u，v）＝f（x，y）都有cos〈f（x，y），（x，y）〉恒为定值，且xv﹣yu恒大于等于0或恒小于0．
则称f是一个旋转变换．
（1），g（x，y）＝（x，﹣y），
判断并说明f，g是否是旋转变换；
（2）已知f，g是旋转变换，，，求出一个满足条件的f（x，y），g（x，y），并计算g（f（x，y））；
（3）设S＝{（x，y）|16x2﹣15x+9y2﹣20y﹣24xy+25＝0}，．求S中点到直线l的最短距离（对于旋转变换f，有）．
 
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dygzsxyn

2024-07-09

高中数学 | 考试 | 难度:1.48

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  • 平面向量的数乘与线性运算，平面向量数量积的性质及其运算，
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  • 正弦定理，解三角形，
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  • 解三角形，
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  • 用样本估计总体的集中趋势参数，用样本估计总体的离散程度参数，
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