已知抛物线和的焦点分别为点且为坐标原点求抛物线的方程过点的直线交的下半部分于点交的左半部分于点求面积的最小值

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169311. （2025•铁一中学•高二上期末）已知抛物线C₁：y²＝4x和C₂：x²＝2py（p＞0）的焦点分别为F₁，F₂，点P（﹣1，﹣1），且F₁F₂⊥OP（O为坐标原点）．
（I）求抛物线C₂的方程；
（II）过点O的直线交C₁的下半部分于点M，交C₂的左半部分于点N，求△PMN面积的最小值．

共享时间:2025-02-12 难度:1

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[考点]

抛物线的焦点与准线，

[答案]

（Ⅰ）x²＝4y；
（Ⅱ）8．

[解析]

解：（Ⅰ）F₁（1，0），

，
∴

，

，
∴p＝2，
∴抛物线C₂的方程为x²＝4y；
（Ⅱ）设过点O的直线为y＝kx，
联立

得（kx）²＝4x，求得M（

，

），
联立

得N（4k，4k²）（k＜0），
从而

，
点P到直线MN的距离

，
进而

＝

，
令

，
有S_△PMN＝2（t﹣2）（t+1），
当t＝﹣2时k＝﹣1，取得最小值．
即当过原点直线为y＝﹣x，
△PMN面积的面积取得最小值8．

[点评]

本题考查了"抛物线的焦点与准线，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

166256. （2024•师大附中•高二上二月）设抛物线C：y²＝2px（p＞0），过焦点F的直线与抛物线C交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝2．
（1）求抛物线C的标准方程．
（2）已知点P（1，0），直线AP，BP分别与抛物线C交于点C，D．
①求证：直线CD过定点；
②求△PAB与△PCD面积之和的最小值．

共享时间:2024-12-29 难度:5 相似度:2

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166468. （2024•铁一中学•高三上三月）设抛物线C：y²＝2px（p＞0），过焦点F的直线与C交于点A，B．当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝2．
（1）求C的方程；
（2）已知点P（1，0），直线AP，BP分别与C交于点C，D．
①求证：直线CD过定点；
②求△PAB与△PCD面积之和的最小值．

共享时间:2024-01-29 难度:5 相似度:2

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167455. （2023•雁塔二中•高二上二月）已知抛物线C：y²＝3x的焦点为F，斜率为

的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；
（2）若

＝3

，求|AB|．

共享时间:2023-12-24 难度:1 相似度:2

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170037. （2023•西工大附中•高三上期末）已知抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，圆M与y轴相切，且圆心M与抛物线C的焦点重合．
（1）求抛物线C和圆M的方程；
（2）设P（x₀，y₀）（x₀≠2）为圆M外一点，过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）和点Q（x₃，y₃），R（x₄，y₄）．且y₁y₂y₃y₄＝16，证明：点P在一条定曲线上．

共享时间:2023-02-04 难度:1 相似度:2

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171504. （2023•铁一中学•高二上期中）已知抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（2，y₀）为抛物线上一点，且|AF|＝4．
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同两点P，Q，若OP⊥OQ，求m的值．

共享时间:2023-11-20 难度:2 相似度:1.5

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171049. （2025•高新一中•高二下期中）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0），Q为C上一点．
（1）证明：以点Q为圆心且过点

的圆与C的准线相切．
（2）若动直线l：y＝kx+2与C相交于M，N两点，点P（t，﹣2）满足OP⊥l（O为坐标原点），且直线PM，PN的斜率之和为2k．
（i）求C的方程；
（ii）过点Q作C的切线l′，若l′∥l，求△MPQ的面积的最小值．

共享时间:2025-05-28 难度:2 相似度:1.5

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171030. （2025•高新一中•高二下期中）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0），Q为C上一点．
（1）证明：以点Q为圆心且过点

共享时间:2025-05-13 难度:2 相似度:1.5

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170666. （2021•长安区一中•高二上期末）已知抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，点P，Q是抛物线C上异于点O的两个不同的动点，当直线PQ过点F时，|PQ|的最小值为8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若OP⊥OQ，证明：直线PQ恒过定点．

共享时间:2021-02-18 难度:2 相似度:1.5

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170644. （2021•长安区一中•高二上期末）．已知抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，点P，Q是抛物线C上异于点O的两个不同的动点，当直线PQ过点F时，|PQ|的最小值为8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若OP⊥OQ，证明：直线PQ恒过定点．

共享时间:2021-02-28 难度:2 相似度:1.5

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170060. （2023•西工大附中•高二上期末）已知抛物线x²＝2py（p＞0），F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A、B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示．
（Ⅰ）求点C的轨迹M的方程；
（Ⅱ）直线m是抛物线的不与x轴重合的切线，切点为P，M与直线m交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F．

共享时间:2023-03-01 难度:2 相似度:1.5

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170033. （2023•西工大附中•高三上期末）已知抛物线C：x²＝2py（0＜p＜6）的焦点为F，点A（4，m）在抛物线C上，且|AF|＝5．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）直线l与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点为P（1，2），求直线l的方程．

共享时间:2023-02-04 难度:2 相似度:1.5

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170012. （2023•西工大附中•高三上期末）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0），点A（4，﹣1），P为抛物线上的动点，直线l为抛物线的准线，点P到直线l的距离为d，|PA|+d的最小值为5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线y＝kx+1与抛物线相交于M，N两点，与y轴相交于Q点，当直线AM，AN的斜率存在，设直线AM，AN，AQ的斜率分别为k₁，k₂，k₃，是否存在实数λ，使得

，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．

共享时间:2023-02-15 难度:2 相似度:1.5

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169331. （2025•西安八十五中•高二上期末）如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l与抛物线y²＝2x分别交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点．
（1）求证：x₁x₂为定值；
（2）求证：OM⊥ON．

共享时间:2025-02-15 难度:2 相似度:1.5

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169148. （2020•西工大附中•二模）已知F为抛物线E：y²＝2px（p＞0）的焦点，过点F且倾斜角为

的直线l₁与抛物线E相交于A、B两点，且|AB|＝12，过点F且斜率为

的直线l₂与抛物线E相交于C、D两点．
（1）求抛物线E的方程；
（2）若点A和C均在第一象限，求证：抛物线E的准线、直线AC和直线BD三线共点．

共享时间:2020-03-17 难度:2 相似度:1.5

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169146. （2020•西工大附中•二模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂＝8，S_n+S_n₊₁＝4（n+1）²．
（1）求数列{a_n+a_n₊₁}的通项公式；
（2）证明：数列{a_n}是等差数列．

共享时间:2020-03-17 难度:2 相似度:1.5

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2025-02-12

高中数学 | 高二上 | 解答题

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2024-2025学年陕西省西安市铁一中学高二（上）期末数学试卷

更新:2025-02-12 04:00浏览量:10

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