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169308. (2025•铁一中学•高二上期末) 已知F1F2分别为双曲线的左,右焦点,过点F1的直线与双曲线C的左支交于PQ两点,记△PF1F2的内切圆半径为m,△QF1F2的内切圆半径为n,若mn=3a2,则双曲线C的离心率为         
共享时间:2025-02-12 难度:2
[考点]
双曲线的离心率,直线与双曲线的综合,
[答案]

[解析]
解:F1F2分别为双曲线的左,右焦点,过点F1的直线与双曲线C的左支交于PQ两点,记△PF1F2的内切圆半径为m,△QF1F2的内切圆半径为n
如图:设△PF1F2的内切圆圆心为M,与△PF1F2各边的切点分别为ABE
根据切线长定理,可得|F1B|=|F1E|,|F2A|=|F2E|,|PA|=|PB|,
根据双曲线的定义:|PF2|﹣|PF1|=2a
∴|PA|+|F2A|﹣(|PB|+|F1B|)=2a⇒|F2A|﹣|F1B|=2a⇒|F2E|﹣|F1E|=2a
又|F2E|+|F1E|=2c,∴|F1E|=ca
E点坐标为(﹣a,0),即E为双曲线的左顶点.
M在直线x=﹣a上.
设△QF1F2的内切圆圆心为N,同理可得点N在直线x=﹣a上.
根据内切圆的概念,可得F1MF1N分别平分∠PF1E、∠QF1E,∴F1MF1N
设∠MF1E=θ,则
∵|ME|=m,∴
同理

mn=3a2,∴(ca2=3a2
ca,∴
故答案为:

[点评]
本题考查了"双曲线的离心率,直线与双曲线的综合,",属于"易错题",熟悉题型是解题的关键。
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共享时间:2024-01-29 难度:5 相似度:1.5
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共享时间:2024-03-13 难度:1 相似度:1.5
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共享时间:2023-07-11 难度:5 相似度:1.5
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共享时间:2024-11-16 难度:1 相似度:1.5

dygzsxyn

2025-02-12

高中数学 | 高二上 | 填空题

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2020*西工大*期末
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