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2024-2025学年陕西师大附中高二（上）期末数学试卷

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(8小题共40分)

1. （本题5分）过点（3，2）且垂直于直线x﹣2y+1＝0的直线方程为（　　）

A.2x﹣y﹣4＝0

B.2x﹣y+4＝0

C.2x+y﹣8＝0

D.．x﹣2y+4＝0

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2. （本题5分）记函数f（x）的导函数为f′（x）．若f（x）＝e^xsin2x，则f′（0）＝（　　）

A.2

B.．1

C.．0

D.﹣1

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3. （本题5分）如图，三棱锥O﹣ABC中，

，

，点N为BC中点，点M满足

，则

＝（　　）

A.	B.
C.	D.

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4. （本题5分）已知等差数列{a_n}的前n项和为

，若a₁＞0，S₄＝S₁₂，则（　　）

A.公差d＞0

B.a₇+a₉＜0

C.S_n的最大值为S₈

D.．满足S_n＜0的n的最小值为16

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5. （本题5分）已知函数f（x）＝ae^x﹣lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为（　　）

A.e²

B.．e

C.e^﹣1

D.．e^﹣2

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6. （本题5分）已知{a_n}为等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，a_n₊₁＝2S_n+2，则a₄的值为（　　）

A.3

B.．18

C.．54

D.．152

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7. （本题5分）已知斜率为k（k＞0）的直线l过抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点F，与抛物线C交于A，B两点，又直线l与圆x²+y²﹣py﹣

p²＝0交于C，D两点．若|AB|＝3|CD|，则k的值为（　　）

A.．

C.．4

D.．8

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8. （本题5分）记正项数列{a_n}的前n项积为T_n，已知（a_n﹣1）T_n＝2a_n，若

，则n的最小值是（　　）

A.．999

B.1000

C.1001

D.．1002

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二、多选题(3小题共18分)

9. （本题6分）已知两圆方程为x²+y²＝4与（x﹣3）²+（y+4）²＝r²（r≥0），则下列说法正确的是（　　）

A.．若两圆有3条公切线，则r＝3

B.若两圆公共弦所在的直线方程为3x﹣4y﹣2＝0，则r＝5

C.．若两圆公共弦长为，则

D.．若两圆在交点处的切线互相垂直，则

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10. （本题6分）设函数f（x）＝（x﹣1）²（x﹣4），则（　　）

A.x＝3是f（x）的极小值点

B.．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x²）

C.．当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0

D.．当﹣1＜x＜0时，f（2﹣x）＞f（x）

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11. （本题6分）到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．设F₁（﹣c，0）和F₂（c，0）且c＞0，动点M满足

，动点M的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线C，则下列描述正确的是（　　）

A.曲线C的方程是（x²+y²）²﹣2c²（x²﹣y²）＝a⁴﹣c⁴

B.曲线C关于坐标轴对称

C.．曲线C与x轴没有交点

D.△MF₁F₂的面积不大于

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三、填空题(3小题共15分)

12. （本题5分）函数

的最小值为　．

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13. （本题5分）双曲线

的左、右焦点分别为F₁，F₂．过点F₁作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点P，若

，则双曲线的离心率为　．

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14. （本题5分）如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB中点，DE⊥AB，DC＝8，DE＝6．沿着DE将△ADE折起，使A到达点A′的位置，且平面A′DE⊥平面BCDE．设P为△A′DE内的动点，若∠EPB＝∠DPC，则P的轨迹的长度为　

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四、解答题(5小题共77分)

15. （本题15分）已知{a_n}为等差数列，b_n＝

，记S_n，T_n为{a_n}，{b_n}的前n项和，S₄＝32，T₃＝16．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）证明：当n＞5时，T_n＞S_n．

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16. （本题15分）已知函数f（x）＝

﹣1．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）已知函数g（x）＝3x³+2ax²+1，若∀x₁，x₂∈[1，e]，不等式f（x₁）≤g（x₂）恒成立，求实数a的取值范围．

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17. （本题15分）已知四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的所有棱长相等，且∠A₁AB＝∠A₁AD＝∠BAD＝60°．
①证明：平面A₁AC⊥平面A₁BD；
②求直线BC₁与平面A₁AC所成角的正弦值？

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18. （本题15分）已知椭圆

的左、右焦点分别为F₁、F₂，设点A（0，b），在△AF₁F₂中，

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P，Q为C上异于点A的两动点，记直线AP，AQ的斜率分别为k₁，k₂，若k₁+k₂＝2k₁k₂，求证：直线PQ过定点．

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19. （本题17分）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点为F．且F与圆M：x²+（y+4）²＝1上点的距离的最小值为4．
（1）求抛物线的方程；
（2）若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线．A，B是切点，求△PAB面积的最大值．

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dygzsxyn

2025-02-11

高中数学 | 考试 | 难度:1.47

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