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2022-2023学年陕西省西安三中高二（上）期中数学试卷

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共60分)

1. （本题5分）已知i为虚数单位，复数

，则复数z的虚部是（　　）

C.．

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2. （本题5分）下列命题中，正确的是（　　）

A.若a＞b，则a²＞b²

B.若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d

C.．若a＞b，c＞d，则ac＞bd

D.若a＞b＞0，m＞0，则

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3. （本题5分）若﹣

＜α＜β＜

，则α﹣β的取值范围是（　　）

A.（﹣1，1）

B.．（0，1）

C.．（﹣1，0）

D.．{0}

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4. （本题5分）已知x，y为正实数，则

的最小值为（　　）

A.．

D.．3

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5. （本题5分）已知椭圆的两个焦点为F₁（﹣

，0），F₂（

，0），M是椭圆上一点，若MF₁⊥MF₂，MF₁•MF₂＝8，则该椭圆的方程是（　　）

＝1

D.．

＝1

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6. （本题5分）青铜器是指以青铜为基本原料加工而成的器皿、用器等，青铜是红铜与其它化学元素（锡、锦、铅、磷等）的合金．其铜锈呈青绿色，故名青铜．青铜器以其独特的器形，精美的纹饰，典雅的铭文向人们揭示了我国古代杰出的铸造工艺和文化水平．图中所示为觚，饮酒器，长身，侈口，口底均成喇叭状，外形近似双曲线的一部分绕虚轴所在直线旋转而成的曲面．已知，该曲面高15寸，上口直径为10寸，下口直径为7.5寸．最小横截面直径为6寸，则该双曲线的离心率为（　　）

C.．

D.．

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7. （本题5分）下列选项中，是“∅是集合M＝{x|ax²+2x+1＝0，a∈R}的真子集”成立的必要不充分条件的是（　　）

A.{a|a＜0}

B.{a|a≤1}

C.{a|a＜2}

D.{a|a≤0}

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8. （本题5分）已知抛物线C：y²＝12x的焦点为F，准线为l，点A在C上，AB⊥l于B，若

，则BF＝（　　）

A.．

C.．

D.．

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9. （本题5分）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆C：

＝1（a＞b＞0）的面积为8π，两个焦点分别为F₁，F₂，点P为椭圆C的上顶点，∠F₁PF₂＝120°，则椭圆C的短轴长为（　　）

A.2

B.．4

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10. （本题5分）甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相问，则先到教室的是（　　）

A.甲

B.．乙

C.同时到达

D.．无法判断

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11. （本题5分）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝2，若

对任意的x＞0，y＞0恒成立，则实数m的值不可能为（　　）

C.．

D.2

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12. （本题5分）已知抛物线C₁：y²＝12x的焦点为F，圆C₂：x²+y²﹣6x＝0，过点F的直线l与抛物线C₁交于A，B两点，与圆C₂交于M，N两点，且点A，M在同一象限，则|AM|+4|BN|的最小值为（　　）

A.．5

B.．12

C.16

D.．20

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二、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）已知A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上移动，则xy的最大值等于　．

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14. （本题5分）若a、b、c、x，y、z为实数，且a²+b²+c²＝25，x²+y²+z²＝36，ax+by+cz＝30，则

＝　．

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15. （本题5分）图中的三个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前3项，设这个数列为{a_n}，则a₄＝　　；数列{a_n}的通项公式为　．

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16. （本题5分）若F₁、F₂是椭圆C：

＝1的两个焦点，过F₁的直线l与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点，则下列说法中正确的是　　．（填序号）
①椭圆C的离心率为

；
②存在点A使得AF₁⊥AF₂；
③若|AF₂|+|BF₂|＝8，则|AB|＝12；
④△AF₁F₂面积的最大值为12．

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三、解答题(6小题共70分)

17. （本题10分）已知关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a．
（1）当a＝2时，解上述不等式；
（2）如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集为空集，求实数a的取值范围．

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18. （本题12分）已知集合A＝{x|2a﹣1＜x＜a+1}，B＝{x|0≤x≤1}．
（1）在①a＝﹣1，②a＝0，③a＝1，这三个条件中选择一个条件，求A∪B；
（2）若“x∈A”是“x∈∁_RB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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19. （本题12分） 2020年1月，在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情中，武汉市为了落实“四类人员”分类集中管理措施，迅速启动“方舱医院”建设．某单位决定用募捐的18.8万元把一会展中心（长方体状，高度恒定）改造成方舱医院，假设方舱医院的后墙利用原墙不花钱，正面用一种复合板隔离，每米造价40元，两侧用砖砌墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元．问：
（1）改造后方舱医院的面积S的最大值是多少？
（2）为使S达到最大，且实际造价又不超过预算，那么正面复合板应设计为多长？

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20. （本题12分）动点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到定直线l：x＝

的距离的比是常数

．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）直线l：y＝kx+b与M的轨迹交于A，B两点，AB的中点坐标为（6，2），求直线l的方程．

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21. （本题12分）已知直线l：y＝x+b与抛物线C：y²＝2x．
（1）若直线l与抛物线C相切，求实数b的值；
（2）若直线l与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|＝4，求直线l的方程．

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22. （本题12分）如图，在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是点A在BC边上的射影，则AB²＝BD•BC．拓展到空间，在四面体A﹣BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，且在△BCD内，类比平面三角形的射影定理，△ABC，△BOC，△BDC三者面积S_△ABC，S_△BOC，S_△BDC之间有什么关系？请写出你得到的结论，并证明．

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dygzsxyn

2022-11-22

高中数学 | 考试 | 难度:1.68

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