如图在平面几何里有射影定理设的两边是点在边上的射影则拓展到空间在四面体中平面点是在平面内的射影且在内类比平面三角形的射影定理三者面积之间有什么关系请写出你得到的结论并证明

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172184. （2022•西安三中•高二上期中）如图，在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是点A在BC边上的射影，则AB²＝BD•BC．拓展到空间，在四面体A﹣BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，且在△BCD内，类比平面三角形的射影定理，△ABC，△BOC，△BDC三者面积S_△ABC，S_△BOC，S_△BDC之间有什么关系？请写出你得到的结论，并证明．

共享时间:2022-11-22 难度:1

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[考点]

类比推理，

[答案]

，证明见解析．

[解析]

解：类比平面三角形的射影定理可以推出

，
证明：如图所示，

延长DO交BC于E，连接AE，∵DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥DA．
∵AO⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AO⊥BC．
∵AO∩DA＝A，DA⊂平面ADE，AE⊂平面ADE，∴BC⊥平面ADE，
∵AE⊂平面ADE，ED⊂平面ADE，∴BC⊥AE，BC⊥ED，

，

．
∵DA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，∴DA⊥AE．
在直角△DAE中，由射影定理，得AE²＝EO•ED，∴

．

[点评]

本题考查了"类比推理，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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，其中c为参数．当c＝1时，就是双曲余弦函数

，类似地双曲正弦函数

，它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
（1）类比三角函数的三个性质：
①倍角公式sin2x＝2sinxcosx；
②平方关系sin²x+cos²x＝1；
（2）求导公式

写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；
①当x＞0时，双曲正弦函数y＝sh（x）的图象总在直线y＝kx的上方，求实数k的取值范围：
②若x₁＞0，x₂＞0，证明：
[ch（x₂）+sh（x₂）﹣x₂﹣1]•[ch（x₁）+sh（x₁）]＞sin（x₁+x₂）﹣sinx₁﹣x₂cosx₁．

共享时间:2024-12-26 难度:1 相似度:2