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2024-2025学年陕西师大附中高二（上）期中数学试卷

试卷总分:150分    命题人:dygzsxyn    考试时长:120分钟

一、选择题(11小题共58分)
1. （本题5分） 直线的倾斜角α是（　　）
A.       
B.．      
C.      
D.．
 
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2. （本题5分） 已知点（1，2）在抛物线C：y＝ax2上，则抛物线C的准线方程为（　　）
A.    
B.．   
C.．  
D.．
 
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3. （本题5分） 已知椭圆的焦距为2，则C的长轴长为（　　）
A.       
B.．    
C.．   
D.．
 
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4. （本题5分） 如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，其中AB＝2，AD＝4，AA1＝3，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，则线段AC1的长为（　　）

A.．9       
B.．    
C.．    
D.．
 
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5. （本题5分） 已知点P在直线l：x﹣y﹣1＝0上运动，点A（0，1），B（3，1），则|PA|﹣|PB|的最大值为（　　）
A.．     
B.．2        
C.       
D.．1
 
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6. （本题5分） 两个圆C1：x2+y2+2ax+a2﹣4＝0（a∈R）与C2：x2+y2﹣2by﹣1+b2＝0（b∈R）恰有三条公切线，则ab的最大值为（　　）
A.5         
B.         
C.．4       
D.．
 
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7. （本题5分） 在三棱锥O﹣ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝OC＝4，OB＝3，则直线OB与平面ABC所成角的正弦值为（　　）
A.        
B.．       
C.    
D.
 
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8. （本题5分） 已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若在C上存在点P（不是顶点），使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则C的离心率的取值范围为（　　）
A.
B.．   
C.．                    
D.
 
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9. （本题6分） 已知α∈（0，π），方程x2+y2cosα＝1表示的曲线可以是（　　）
A.圆        
B.．椭圆     
C.．双曲线  
D.．两条直线
 
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10. （本题6分） 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为线段B1D1，BC1上的动点，则下列结论正确的是（　　）

A.直线DB1⊥平面ACD1   

B.．直线AE与平面BB1D1D所成角的正弦值为定值   

C.．平面A1C1B∥平面ACD1

D.．点F到平面ACD1的距离为定值

 
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11. （本题6分） 已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（2，0）作斜率为的直线交抛物线C于A，B两点，则下列结论一定正确的是（　　）
A.．∠AOF＝∠BOF               
B.
C.．              
D.．∠AOB＜90°
 
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二、填空题(3小题共15分)
12. （本题5分） 过点A（﹣1，﹣1），B（0，﹣2），C（3，1）三点的圆的标准方程为 　      　 ．
 
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13. （本题5分） 如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则＝ 　       ．

 
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14. （本题5分） 已知实数a＞0，b＜0，则的取值范围是 　      　 ．
 
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三、解答题(5小题共77分)
15. （本题13分） 北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪．某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点C到点B）．已知观测点A的坐标（6，0），当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令；（1）求航天器变轨时点C的坐标；
（2）求航天器降落点B与观测点A之间的距离．

 
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16. （本题15分） 已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20＝0，直线l：（m+2）x+（1﹣m）y﹣4m﹣5＝0（m∈R）．
（1）证明：不论m取什么实数时，直线l与圆C恒交于两点；
（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及此时实数m的值．
 
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17. （本题15分） 已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为2．记点M的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）若P，Q是曲线C上两点，试判断点（﹣1，2）能否成为线段PQ的中点，如果可以，求出直线PQ的方程；如果不可以，请说明理由．
 
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18. （本题17分） 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝t，M是线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）若t＝1，求二面角A﹣DF﹣B的大小；
（3）若线段AC上总存在一点P，使得PF⊥BE，求t的最大值．

 
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19. （本题17分） 已知椭圆C：的离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l：y＝kx+m（k，m∈R）与椭圆C相交于A，B两点，且．
①求证：△AOB的面积为定值；
②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．
 
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dygzsxyn

2024-11-18

高中数学 | 考试 | 难度:2.58

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