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2024-2025学年陕西师大附中高一（下）期中数学试卷

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(8小题共40分)

1. （本题5分）已知集合U＝{﹣1，0，1，2}，A＝{x∈N^*|x＜2}，则∁_UA＝（　　）

A.{﹣1，0，1}

B.{﹣1，0，2}

C.{﹣1，2}

D.．{1}

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2. （本题5分）已知复数z满足z（3﹣4i）＝1+2i，则z的虚部是（　　）

D.．

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3. （本题5分）若向量

，

满足|

|＝3，

•

＝﹣6，则

在

上的投影向量是（　　）

C.．

D.．

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4. （本题5分）已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（　　）

B.．

D.．2

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5. （本题5分）在三角形ABC中，a＝2，

，

，则∠C＝（　　）

A.．

B.．

或

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6. （本题5分）若空间中三条不同的直线a，b，c满足a⊥c，b⊥c，则a∥b是a，b，c共面的（　　）

A.充分不必要条件	B.．必要不充分条件
C.充要条件	D.．既不充分也不必要条件

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7. （本题5分）已知点P是△ABC所在平面内的一点，且

，AB＝1，AC＝2，则

的最小值是（　　）

B.．

C.．

D.．

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8. （本题5分）如图，正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁满足2AB＝AA₁，点E在线段DD₁上移动，点F在线段BB₁上移动，并且满足DE＝FB₁，则下列结论中正确的是（　　）

A.．直线AC₁与直线EF可能异面

B.．直线EF与直线AC所成角随着E点位置的变化而变化

C.四棱锥A﹣CEF的体积保持不变

D.三角形AEF可能是钝角三角形

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二、多选题(3小题共18分)

9. （本题6分）已知z₁，z₂为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（　　）

A.若\|z₁\|≤1，则﹣1≤z₁≤1	B.若\|z₁\|+\|z₂\|＝0．则z₁＝z₂＝0
C.若\|z₁\|＝\|z₂\|，则	D.若z₁＞z₂，则z₁﹣z₂＞0

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10. （本题6分）已知函数

，则（　　）

A.f（x）是周期为π的函数

B.f（x）与函数是同一函数

C.是f（x）的一条对称轴

D.f（x）在区间上的取值范围是

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11. （本题6分）已知a，b，c分别是锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，若

，则下列选项正确的是（　　）

A.．

B.cosAcosC的取值范围是

C.的取值范围是

D.若BD平分∠ABC交AC于点D，且BD＝1，则4a+c的最小值为

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三、填空题(3小题共15分)

12. （本题5分）若tanα＝2，则sin²α﹣sinαcosα＝　．

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13. （本题5分）若圆柱的底面半径为1，且表面积是侧面积的2倍，则该圆柱的体积为　　．

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14. （本题5分）在△ABC中，

，且

，若

，则λ＝　．

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四、解答题(5小题共77分)

15. （本题13分）如图，正四棱台ABCD﹣A₁B₁C₁D₁是一块铁料，上、下底面的边长分别为40cm和80cm，O₁，O分别是上、下底面的中心，棱台高为60cm．
（1）求正四棱台ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的表面积；
（2）若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台，求圆台的体积．

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16. （本题15分）已知平面向量

，

，且

，

．
（1）若

∥

，且

，求

的坐标；
（2）若向量

与

的夹角是锐角，求实数λ的取值范围．

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17. （本题15分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中．AB＝1，AA₁＝2，M是DD₁的中点．
（1）求证：BD₁∥平面AMC；
（2）证明：AC⊥BD₁；
（3）求点D到平面MAC的距离．

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18. （本题17分）已知函数f（x）＝x²﹣（a+6）x+6（a∈R）．
（1）若∀x∈[1，4]，f（x）+a+8≥0恒成立，求a的取值范围；
（2）已知g（x）＝mx+7﹣3m，当a＝1时，若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）＝g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

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19. （本题17分）材料1：在三角形中有一个非常重要的定理，其探究的情景基于角A，B，C所对的边分别为a，b，c的锐角△ABC，作△ABC的外接圆⊙O，连接AO并延长与⊙O交于点D，连接BD，则△ABD为直角三角形，且可推出对任意△ABD都有

．
材料2：法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
①当△ABC的三个内角均小于120°时，满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，点O为费马点；
②当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．
请用以上材料解决下面的问题：
（1）根据材料1的情景，当锐角△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c时，求证：

；
（2）已知a是平面内的任意一个向量，向量

满足

，且|

|＝2|

|＝2

，则

的最小值；
（3）已知点P为△ABC的费马点，且AC⊥BC，若

，求实数λ的最小值．

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2025-05-22

高中数学 | 考试 | 难度:2

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A.若\|z₁\|≤1，则﹣1≤z₁≤1	B.若\|z₁\|+\|z₂\|＝0．则z₁＝z₂＝0
C.若\|z₁\|＝\|z₂\|，则	D.若z₁＞z₂，则z₁﹣z₂＞0

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