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2022-2023学年陕西省西安市铁一中学高一（下）期中数学试卷

试卷总分:120分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共48分)

1. （本题4分）欧拉公式e^ix＝cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”，已知e^ai为纯虚数，则复数

在复平面内对应的点位于（　　）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

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2. （本题4分）已知向量

，

满足：|

﹣

|＝|

|，则

与

夹角的大小为（　　）

A.30°

B.45°

C.60°

D.．90°

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3. （本题4分）如图为△ABC水平放置的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，

，那么原△ABC的面积是（　　）

C.．

D.．2

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4. （本题4分）在△ABC中，若lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC＝lg2，则该三角形的形状是（　　）

A.等腰三角形	B.等边三角形
C.直角三角形	D.等腰直角三角形

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5. （本题4分）已知正四面体S﹣ABC的外接球表面积为6π，则正四面体S﹣ABC的棱长为（　　）

A.1

C.．

D.．2

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6. （本题4分）在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD中点，若

，则x＝（　　）

B.．

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7. （本题4分）在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，E为棱BB₁的中点，则平面AED₁截正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的截面面积为（　　）

C.4

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8. （本题4分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

）的图象如图所示，图象与x轴的交点为

，与y轴的交点为N，最高点P（1，A），且满足MM⊥NP，则f（0）＝（　　）

B.1

C.．

D.．

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9. （本题4分）已知复数z＝1+i，则下列说法正确的是（　　）

A.z的虚部是i	B.z的共轭复数是1﹣i
C.	D.z•＝\|z\|²

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10. （本题4分）下列关于向量的命题正确的是（　　）

A.非零向量，，，满足∥，∥，则∥

B.向量，共线的充要条件是存在实数λ，使得＝λ成立

C.在△ABC中，b＝18，c＝20，B＝60°，该三角形有两个解

D.．若，∠BAC为锐角，则实数m的范围是m＞﹣6

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11. （本题4分）在△ABC中，若a：b：c＝4：5：6，下列结论中正确的有（　　）

A.sinB：sinA：sinC＝4：5：6

B.△ABC是钝角三角形

C.．△ABC中最大角是最小角的2倍

D.．若c＝6，则△ABC外接圆的半径为

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12. （本题4分）已知函数f（x）＝

，若方程f（x）＝k（k∈R）有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为x₁，x₂，x₃，x₄，则（　　）

A.0＜k＜

B.e＜x₃＜e²

C.．x₁+x₂＝﹣1

D.0＜x₁x₂x₃x₄＜

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二、填空题(4小题共16分)

13. （本题4分）已知向量

，则t＝　．

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14. （本题4分）已知z∈C，且|z+i|＝3，i为虚数单位，则|z﹣3﹣3i|的最大值是　　．

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15. （本题4分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别是棱BC，CC₁的中点，P是侧面BCC₁B₁内一点，若A₁P∥平面AEF，则线段A₁P长度的取值范围是　　．

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16. （本题4分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边a，b，c满足a²﹣b²＝bc，若cos（C﹣B）+λcosA存在最大值，则实数λ的取值范围是　　．

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三、解答题(6小题共56分)

17. （本题8分）已知复数z＝（m²+m﹣2）+（2m²﹣m﹣3）i，m∈R，其中i为虚数单位．
（1）若复数z为纯虚数，求m的值；
（2）若

，求m的值．

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18. （本题8分）如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，BC＝AA₁＝1，

，

，P为线段BC₁上的动点．
（1）当P为线段BC₁上的中点时，求三棱锥B﹣PAC的体积；
（2）当P在线段BC₁上移动时，求AP+CP的最小值．

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19. （本题8分）如图，已知点G是△ABC的重心，若PQ过△ABC的重心G，且

＝

，

＝n

（m＞0，n＞0），试求m+2n的最小值．

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20. （本题10分）如图，在扇形AOB中，圆心角AOB等于60°，半径为4，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ．
（1）若点C为OA的中点，试求θ的正弦值；
（2）求△POC面积的最大值及此时θ的值．

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21. （本题10分）如图：已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，D为BC边上一点，D₁为B₁C₁中点，且A₁B∥面ADC₁．证明：平面A₁BD₁∥平面ADC₁．

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22. （本题12分）在平面直角坐标系中，锐角α、β的终边分别与单位圆交于A、B两点．
（1）如果A点的纵坐标为

，B点的横坐标为

，求cos（α+β）的值；
（2）若角α+β的终与单位圆交于C点，经点A、B、C分别作x轴垂线，垂足分别为M、N、P．求证：线段MA、NB、PC能构成一个三角形；
（3）探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

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dygzsxyn

2023-05-21

高中数学 | 考试 | 难度:1.95

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