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2023-2024学年陕西省西安市长安一中高二（下）期中数学试卷

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共60分)

1. （本题5分）集合M＝{y|y＝

，x∈N，y∈N}的非空子集个数是（　　）

A.3

B.．7

C.．15

D.31

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2. （本题5分）若z（2﹣i）²＝﹣i（i是虚数单位），则复数z的模为（　　）

B.．

C.．

D.．

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3. （本题5分）已知向量

，

满足|

|＝1，

＝（﹣2，1），且|

﹣

|＝2，则

•

＝（　　）

A.﹣1

B.．0

C.1

D.．2

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4. （本题5分）函数

的图象大致为（　　）

A.	B.．
C.	D.．

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5. （本题5分）若n为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式

的展开式的常数项是（　　）

A.6

B.7

C.．8

D.10

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6. （本题5分）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（　　）

A.甲、乙、丙

B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲

D.．甲、丙、乙

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7. （本题5分）为了更好的了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹．某校团支部6人组建了党史宣讲，歌曲演唱，诗歌创作三个小组，每组2人，其中甲不会唱歌，乙不能胜任诗歌创作，则组建方法有（　　）种

A.60

B.．72

C.．30

D.．42

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8. （本题5分）已知a＞0，b＞0，直线l₁：x+（a﹣4）y+1＝0，l₂：2bx+y﹣2＝0，且l₁⊥l₂，则

的最小值为（　　）

A.2

B.．4

C.．

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9. （本题5分）下列命题中，正确的命题是（　　）

A.若事件A，B满足，，则

B.设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞﹣1）＝p，则

C.若事件A，B满足0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，，则A与B独立

D.某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生平均数为9，方差为11；女生的平均数为7，方差为8，则该10人成绩的方差为9.5

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10. （本题5分）已知a＞0，b＞0，且a²+b²＝1，则（　　）

A.	B.
C.	D.a²﹣b²＞﹣1

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11. （本题5分）将函数f（x）的图象向左平移

个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的

，得到如图所示的函数

的部分图象，则关于函数f（x）的说法，正确的是（　　）

A.．最小正周期为π

B.．图象关于点对称

C.图象关于直线对称

D.在区间上的值域为

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12. （本题5分）如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，P是正方形ABCD内部（含边界）的一个动点，则（　　）

A.．存在唯一点P，使得D₁P⊥B₁C

B.．存在唯一点P，使得直线D₁P与平面ABCD所成的角取到最小值

C.．若，则三棱锥P﹣BB₁C外接球的表面积为8π

D.．若异面直线D₁P与A₁B所成的角为，则动点P的轨迹是抛物线的一部分

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二、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍．请问塔顶层有　　盏灯，塔底层有盏灯．

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14. （本题5分）已知双曲线C：

﹣

＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F₁、F₂，以F₂为圆心且和双曲线C的渐近线相切的圆与双曲线C的一个交点为M，若△F₁MF₂为等腰三角形，则双曲线C的离心率是　．

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15. （本题5分）已知函数f（x）＝x³﹣2x+e^x﹣

，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a²）≤0．则实数a的取值范围是　　．

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16. （本题5分）已知G为△ABC的重心，点M，N分别在边AB，AC上，满足

＝x

，其中x+y＝1，若

＝

，则△ABC和△AMN的面积之比为　．

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三、解答题(6小题共70分)

17. （本题10分）已知{a_n}为等差数列，{b_n}为单调递增的等比数列，a₁＝b₁＝1，a₂+a₄＝6，a₃b₃＝12．
（1）求{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．

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18. （本题12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

．
（1）求A的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，求

的取值范围．

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19. （本题12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，△PCD是正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，AC＝PC，AC⊥PC．
（Ⅰ）求证：AC⊥PD；
（Ⅱ）若M是PB的中点，求直线MD与平面ACP所成角的正弦值．

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20. （本题12分）盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
（2）记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E（X）．

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21. （本题12分）已知动圆M经过定点

，且与圆F₂：

内切．
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设PB交直线x＝4于点T，连结AT交轨迹C于点Q．直线AP、AQ的斜率分别为k_AP、k_AQ．
（i）求证：k_AP•k_AQ为定值；
（ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标．

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22. （本题12分）已知函数f（x）＝sinx+x²．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）证明：f（x）＞﹣

．

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dygzsxyn

2024-05-30

高中数学 | 考试 | 难度:1.64

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