如图在四棱锥中底面是平行四边形是正三角形平面平面求证若是的中点求直线与平面所成角的正弦值

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171437. （2024•长安区一中•高二下期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，△PCD是正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，AC＝PC，AC⊥PC．
（Ⅰ）求证：AC⊥PD；
（Ⅱ）若M是PB的中点，求直线MD与平面ACP所成角的正弦值．

共享时间:2024-05-30 难度:2

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[考点]

空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面所成的角，

[校正]

[答案]

（Ⅰ）证明见解答；（Ⅱ）

．

[解析]

（Ⅰ）证明：取CD中点O，连接OP，
因为△PCD是正三角形，所以OP⊥CD，
因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，
所以OP⊥平面ABCD，
因为AC⊂平面ABCD，所以AC⊥OP，
又因为AC⊥PC，PC∩OP＝P，
所以AC⊥平面PCD，
因为PD⊂平面PCD，
所以AC⊥PD．
（Ⅱ）解：建系如图，不妨设CD＝2，由题意知C（0，0，0），A（0，2，0），B（﹣2，2，0），P（1，0，

），M（﹣

，1，

），D（2，0，0），

＝（0，2，0），

＝（1，0，

），

＝（﹣

，1，

），
令

＝（

，0，﹣1），
因为

•

＝0，

•

＝0，
所以

是平面PAC的法向量，
所以直线MD与平面ACP所成角的正弦值为

＝

．

[点评]

本题考查了"空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面所成的角，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

265365. （2014•陕西省•真题） $德优题库$ 如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H．
（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；
（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．

共享时间:2014-06-20 难度:2 相似度:2

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172334. （2021•西安中学•高二上期中）如图，在斜三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，点O是A₁C₁的中点，AO⊥平面A₁B₁C₁．已知∠BCA＝90°，AA₁＝AC＝BC＝2．
（1）求证：AB₁⊥A₁C；
（2）求A₁C₁与平面AA₁B₁所成角的正弦值．

共享时间:2021-11-26 难度:2 相似度:2

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167279. （2023•长安区一中•高三上五月）如图，△ABC，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把AEF折起，使点A到达点P的位置，且PB＝BE．
（Ⅰ）证明：EF⊥平面PBE；
（Ⅱ）设N为线段PF上动点，求直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值．

共享时间:2023-12-29 难度:1 相似度:1.5

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237990. （2015•师大附中•高二上期中）如图，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝1，AB＝AD＝2，E，F分别是棱AB，BC的中点．证明A₁，C₁，F，E四点共面，并求直线CD₁与平面A₁C₁FE所成角的正弦值．

共享时间:2015-11-19 难度:1 相似度:1.5

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168149. （2023•西工大附中•六模）如图，四棱锥P﹣ABCD底面为菱形，

，AB＝AP＝2，PA⊥底面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点．
（1）若

，证明直线AG在平面AEF内；
（2）若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为

，试确定

的值．

共享时间:2023-05-19 难度:1 相似度:1.5

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271207. （2025•西安八十三中•高二上一月）如图，四面体ABCD的每条棱长都相等，M，N，P分别是AB，CD，AD的中点．
（1）求证：

，

为共面向量；
（2）求BP与平面BMN所成角的正弦值．

共享时间:2025-10-20 难度:1 相似度:1.5

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171393. （2023•西安中学•高二上期中）如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E为AA₁的中点．
（1）求证：A₁D∥平面B₁CE；
（2）求直线CD与平面B₁CE所成角的正弦值．

共享时间:2023-11-16 难度:2 相似度:1

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231121. （2016•西工大附中•四模）在平面直角坐标系xoy中，已知四点A（2，0），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（﹣2，﹣2），把坐标系平面沿y轴折为直二面角．
（1）求证：BC⊥AD；
（2）求三棱锥C﹣AOD的体积．

共享时间:2016-04-19 难度:2 相似度:1

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232869. （2024•西安三中•高二下一月）设四边形ABCD为矩形，点P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，若PA＝AB＝1，BC＝2．
（1）求PC与平面PAD所成角的正切值；
（2）在BC边上是否存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为

，若存在，求出BG的值，若不存在，请说明理由；

共享时间:2024-04-19 难度:2 相似度:1

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232827. （2023•西安市•高三上五月）如图，在四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为2的菱形，且∠A₁AB＝∠A₁AD＝∠BAD＝60°，A₁A＝3．
（1）求证：平面A₁BD⊥平面ABCD；
（2）求直线DC₁与平面A₁DC所成角的正弦值．

共享时间:2023-12-14 难度:2 相似度:1

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232399. （2024•铁一中学•高二下一月）已知直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC₁的中点，D为棱A₁B₁上的点，BF⊥A₁B₁．
（1）证明：BF⊥DE；
（2）当B₁D为何值时，面BB₁C₁C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？

共享时间:2024-04-13 难度:2 相似度:1

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232376. （2023•铁一中学•高二上二月）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3，
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．

共享时间:2023-12-18 难度:2 相似度:1

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232310. （2023•铁一中学•高三上一月）如图，已知多面体ABC﹣A₁B₁C₁，A₁A，B₁B，C₁C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A₁A＝4，C₁C＝1，AB＝BC＝B₁B＝2．
（Ⅰ）证明：AB₁⊥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）求直线AC₁与平面ABB₁所成的角的正弦值．