如图在正方体中是正方形内部含边界的一个动点则存在唯一点使得存在唯一点使得直线与平面所成的角取到最小值若则三棱锥外接球的表面积为若异面直线与所成的角为则动点的轨迹是抛物线的一部分

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171430. （2024•长安区一中•高二下期中）如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，P是正方形ABCD内部（含边界）的一个动点，则（　　）

A.．存在唯一点P，使得D₁P⊥B₁C

B.．存在唯一点P，使得直线D₁P与平面ABCD所成的角取到最小值

C.．若

，则三棱锥P﹣BB₁C外接球的表面积为8π

D.．若异面直线D₁P与A₁B所成的角为

，则动点P的轨迹是抛物线的一部分

共享时间:2024-05-30 难度:2

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[考点]

球的体积和表面积，直线与平面所成的角，

[校正]

[答案]

BCD

[解析]

解：对于A选项：正方形BCC₁B₁中，有BC₁⊥B₁C，
正方体中有AB⊥平面BCC₁B₁，B₁C⊂平面BCC₁B₁，AB⊥B₁C，
又BC₁∩AB＝B，BC₁，AB⊂平面ABC₁D₁，B₁C⊥平面ABC₁D₁，
只要D₁P⊂平面ABC₁D₁，就有D₁P⊥B₁C，P在线段AB上，有无数个点，A选项错误；

对于B选项：D₁D⊥平面ABCD，直线D₁P与平面ABCD所成的角为∠D₁PD，D₁D＝2，∠D₁PD取到最小值时，PD最大，
此时点P与点B重合，B选项正确；
对于C选项：若

，则P为DB中点，△PBC为等腰直角三角形，外接圆半径为

，
三棱锥P﹣BB₁C外接球的球心到平面PBC的距离为

，则外接球的半径为

，所以三棱锥P﹣BB₁C外接球的表面积为8π，C选项正确；
对于D选项：以D为原点，

的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D₁（0，0，2），A₁（2，0，2），B（2，2，0），设P（x，y，0）（0≤x≤2，0≤y≤2），则有

，

，
有

＝

，化简得x²＝4y，P是正方形ABCD内部（含边界）的一个动点，
所以P的轨迹是抛物线的一部分，D选项正确．
故选：BCD．

[点评]

本题考查了"球的体积和表面积，直线与平面所成的角，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

转载声明：

本题解析属于发布者收集录入，如涉及版权请向平台申诉！！版权申诉

考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

169753. （2023•师大附中•高二下期末）已知四面体ABCD的所有顶点在球O的表面上，AB⊥平面BCD，

，

，∠CBD＝135°，则球O的体积为（　　）

A.

B.

C.

D.

共享时间:2023-07-24 难度:1 相似度:1.5

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231406. （2016•西工大附中•六模）已知长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的所有顶点都在球O的球面上，AB＝AD＝1，AA₁＝2，则球O的球面面积为（　　）

A.2π

B.．4π

C.．6π

D.．24π

共享时间:2016-05-26 难度:1 相似度:1.5

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170544. （2021•西安中学•高一上期末）已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为2

．若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为（　　）

A.．4

B.．6

C.．8

D.．10

共享时间:2021-02-10 难度:1 相似度:1.5

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171057. （2024•高新一中•高二上期中）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧棱长为2，AC⊥BC，AC＝BC＝1，点D在上底面A₁B₁C₁（包含边界）上运动，则三棱锥D﹣ABC外接球半径的取值范围为（　　）

A.．

B.

C.．

D.．

共享时间:2024-11-27 难度:1 相似度:1.5

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171512. （2024•高新一中•高一下期中）我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则其棱切球的表面积是（　　）

A.．π

B.2π

C.．8π

D.．12π

共享时间:2024-05-26 难度:1 相似度:1.5

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171773. （2022•师大附中•高三上期中）已知三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝SC＝2

，二面角B﹣AC﹣S的大小为

，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为（　　）

A.

B.．

C.．

D.．

共享时间:2022-11-13 难度:5 相似度:1.5

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171879. （2023•长安区一中•高一下期中）在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB＝BC＝AA₁＝4，点P为B₁C₁的中点，则四面体PABC的外接球的体积为（　　）

A.．

B.

C.．

D.．

共享时间:2023-05-15 难度:1 相似度:1.5

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230669. （2025•西安三中•四模）已知直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，AA₁＝2，则直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁外接球的表面积为（　　）

A.．36π

B.18π

C.．9π

D.．3π

共享时间:2025-04-30 难度:5 相似度:1.5

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230694. （2022•长安区•二模）六氟化硫，化学式为SF₆，在常压下是一种无色、无身、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为（　　）

A.

B.

C.．

D.．

共享时间:2022-03-16 难度:5 相似度:1.5

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230786. （2022•临潼区•二模）已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的

时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（　　）

A.

π

B.

π

C.

π

D.

π

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230809. （2022•临潼区•二模）已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的

时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（　　）

A.

π

B.

π

C.

π

D.．

π

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230849. （2017•师大附中•七模）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（　　）

A.

B.

C.．

D.．

共享时间:2017-06-02 难度:1 相似度:1.5

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230872. （2017•师大附中•七模）（5分）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（　　）

A.．

B.

C.

D.

共享时间:2017-06-04 难度:1 相似度:1.5

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231969. （2024•师大附中•高一下二月）在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝1，AC＝5，

，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（　　）

A.9π

B.．18π

C.．36π

D.72π

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170156. （2023•铁一中学•高二上期末）已知三棱台ABC﹣A₁B₁C₁的六个顶点都在球O的球面上，AA₁＝BB₁＝CC₁＝

，△ABC和△A₁B₁C₁分别是边长为

和2

的正三角形，则球O的体积为（　　）

A.

B.

C.36π

D.．

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