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德优网2022陕西省西安市未央区西安中学高中数学考试期末高二上

2021-2022学年陕西省西安中学高二（上）期末数学试卷（理科）

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共60分)

1. （本题5分）用反证法证明“若a，b∈R，a²+b²≠0，则a，b不全为0”时，假设正确的是（　　）

A.a，b中只有一个为0	B.a，b至少一个不为0
C.a，b至少有一个为0	D.a，b全为0

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2. （本题5分）已知函数

，则

＝（　　）

A.﹣1

B.．0

C.．

D.．1

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3. （本题5分）椭圆2x²+3y²＝12的两焦点之间的距离为（　　）

A.．2

B.．

C.．2

D.．

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4. （本题5分）观察（x²）'＝2x，（x⁴）'＝4x³，（cosx）'＝﹣sinx，由归纳推理得：若偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）等于（　　）

A.f（x）

B.﹣f（x）

C.．g（x）

D.﹣g（x）

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5. （本题5分）设函数

，则曲线y＝f（x）在点（3，﹣8）处的切线方程为（　　）

A.y＝﹣9x+19

B.y＝﹣9x+27

C.y＝9x+19

D.．y＝9x+27

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6. （本题5分）双曲线

的一条渐近线方程是

，则双曲线的离心率是（　　）

B.．

C.．3

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7. （本题5分）已知F₁（﹣1，0），F₂（1，0）是椭圆的两个焦点，过F₁的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF₂N的周长为8，则椭圆的标准方程为（　　）

A.	B.
C.	D.

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8. （本题5分）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）＝2ⁿ×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N^*）时，从n＝k（k∈N^*）到n＝k+1时左边需增乘的代数式是（　　）

A.2k+1

B.2（2k+1）

C.．

D.．

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9. （本题5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）

A.．（﹣1，1）

B.．（﹣1，+∞）

C.（﹣∞，﹣1）

D.．（﹣∞，+∞）

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10. （本题5分）函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）

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11. （本题5分）已知F是双曲线

﹣

＝1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（　　）

A.7

B.8

C.．9

D.10

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12. （本题5分）天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，设定点为F₁（﹣c，0），F₂（c，0），c＞0，点O为坐标原点，动点P（x，y）满足

（a＞0且a为常数），化简得曲线E：

．当

，c＝1时，关于曲线E有下列四个命题：
①曲线E既是轴对称图形，又是中心对称图形；
②|PO|的最大值为

；
③|PF₁|+|PF₂|的最小值为

；
④△F₁PF₂面积的最大值为1．
其中，正确命题的个数为（　　）

A.．1个

B.．2个

C.．3个

D.4个

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二、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）一个物体的运动方程为s＝1﹣t+t²，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是　　米/秒．

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14. （本题5分）已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD所成角分别为α，β，则cos²α+cos²β＝1，若把它推广到空间长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，体对角线AC₁与平面ABB₁A₁，平面ABCD，平面ADD₁A₁所成的角分别为α，β，γ，则可以类比得到的结论为　　．

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15. （本题5分）若

在[﹣1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是　　．

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16. （本题5分）已知斜率为﹣

的直线与椭圆

＝1相交于不同的两点A，B，M为y轴上一点且满足|MA|＝|MB|，则点M的纵坐标的取值范围是　　．

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三、解答题(5小题共70分)

17. （本题12分）选择合适的方法求证下列问题：
（Ⅰ）证明：

；
（Ⅱ）已知：x＞0，y＞0，且x+3y＝1，求证：

．

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18. （本题13分）设函数

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

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19. （本题15分）已知椭圆

的离心率为

，椭圆的短轴端点与双曲线

的焦点重合，过点P（4，0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若以AB为直径的圆过坐标原点O，求k的值．

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20. （本题15分）如图甲，在直角三角形ABC中，已知AB⊥BC，BC＝4，AB＝8，D，E分别是AB，AC的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达点A′的位置，且A′D⊥BD，连接A′B，A′C，得到如图乙所示的四棱锥A′﹣DBCE，M为线段A′D上一点．

（Ⅰ）证明：平面A′DB⊥平面DBCE；
（Ⅱ）过B，C，M三点的平面与线段A'E相交于点N，从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求直线DN与平面A′BC所成角的正弦值．
①BM＝BE；
②直线EM与BC所成角的大小为45°；
③三棱锥M﹣BDE的体积是三棱锥E﹣A'BC体积的

．

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21. （本题15分）已知抛物线C：y²＝2x，过点A（2，0）且斜率为k的直线与抛物线C相交于P，Q两点．
（Ⅰ）设点B在x轴上，分别记直线PB，QB的斜率为k₁，k₂．若k₁+k₂＝0，求点B的坐标；
（Ⅱ）过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M，N两点，求

的值．

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dygzsxyn

2022-02-23

高中数学 | 考试 | 难度:1.38

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