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德优网2024陕西省西安市未央区西安中学高中数学考试期末高三上

2023-2024学年陕西省西安中学高三（上）期末数学试卷（理科）

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共60分)

1. （本题5分）若复数z满足z（1+i）＝2i，则|z|＝（　　）

B.2

C.．

D.．3

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2. （本题5分）已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{0}，B＝{x|x²+x﹣2＜0}，则（∁_UA）∩B＝（　　）

A.{﹣1}

B.{1}

C.{﹣1，1，2}

D.{﹣2，﹣1，1}

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3. （本题5分）若向量

，且

，则m＝（　　）

A.2

B.．1

C.．0

D.．﹣1

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4. （本题5分）若实数满足约束条件

则z＝x﹣2y取值范围为（　　）

B.．[﹣5，+∞）

C.．[﹣3，6]

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5. （本题5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x²+x﹣2＞0”的（　　）

A.充分而不必要条件	B.必要而不充分条件
C.充要条件	D.既不充分也不必要条件

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6. （本题5分）塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达200～400年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等9部门联合印度《关于礼实推进型科技染物理工作的通知》明确指出，2021年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量y与时间t年之间的关系为

，其中y₀为初始量，k为光解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的75%．该品牌塑料袋大约需要经过（　　）年，其残留量为初始量的10%．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）

A.20

B.．16

C.12

D.．7

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7. （本题5分）若

，则

＝（　　）

D.．

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8. （本题5分）已知正三棱锥P﹣ABC的侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝1，以P为球心的球与底面ABC相切，则该球的半径为（　　）

A.．

D.．

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9. （本题5分）关于函数

有下述四个结论，其中结论错误的是（　　）

B.f（x）的图象关于直线对称

C.f（x）的图象关于对称

D.．f（x）在上单调递增

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10. （本题5分）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数f（x）＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[2.3]＝2，[﹣1.9]＝﹣2，已知数列{a_n}满足a₁＝1，a₂＝5，a_n₊₂+4a_n＝5a_n₊₁，若b_n＝[log₂a_n₊₁]，S_n为数列

的前n项和，则[S₂₀₂₅]＝（　　）

A.2023

B.．2024

C.2025

D.．2026

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11. （本题5分）设

，

，则下列正确的是（　　）

A.b＞a＞c

B.b＞c＞a

C.c＞a＞b

D.c＞b＞a

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12. （本题5分）已知O为坐标原点，点A（﹣2，﹣1）在抛物线C：x²＝﹣2py（p＞0）上，过点B（0，1）的直线交抛物线C于P，Q两点，其中正确结论的个数有（　　）
①抛物线C的准线方程为y＝1；
②直线AB与抛物线C相切；
③

为定值5；
④|BP|•|BQ|＞|BA|²．

A.．1个

B.2个

C.．3个

D.．4个

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二、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）已知等差数列{a_n}的前5项和S₅＝35，且满足a₅＝13a₁，则等差数列{a_n}的公差为　　．

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14. （本题5分）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆M：（x+2）²+y²＝4外切，写出圆C的一个标准方程：　　．

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15. （本题5分）在边长为2的正三角形ABC中，D是BC的中点，

，CE交AD于F．则

＝　．

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16. （本题5分）已知函数

的定义域为（0，+∞），其最小值为2．点M是函数图象上的任意一点，过点M分别作直线l：y＝x和y轴的垂线，垂足分别为A，B．其中O为坐标原点．给出下列四个结论：
①k＝1；
②不存在点M，使得|MA|＝2023；
③|MA|•|MB|的值恒为

；
④四边形OAMB面积的最小值为

．
其中，所有正确结论的序号是　　．

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三、解答题(7小题共70分)

17. （本题12分）造林绿化对生态发展特别是在防风固沙、缓解温室效应、净化空气、涵养水源等方面有着重要意义．某苗木培养基地为了对某种树苗的高度偏差x（单位：cm）与树干最大直径偏差y（单位：mm）之间的关系进行分析，随机挑选了8株该品种的树苗，得到它们的偏差数据（偏差是指个别测定值与测定的平均值之差）如下：

树苗序号	1	2	3	4	5	6	7	8
高度偏差x	20	15	13	3	2	﹣5	﹣10	﹣18
直径偏差y	6.5	3.5	3.5	1.5	0.5	﹣0.5	﹣2.5	﹣3.5

（1）若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）若这种树苗的平均高度为120cm，树干最大直径平均为31.5mm，试由（1）的结论预测高度为128cm的这种树苗的树干最大直径为多少毫米．
参考数据：

，

．
参考公式：回归直线方程

中斜率和截距的最小二乘估计：

，

．

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18. （本题12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosB+bsinA＝c．
（1）求角A的大小；
（2）若

，△ABC的面积为

，求b+c的值．

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19. （本题12分）设椭圆C：

＝1（a＞b＞0）的离心率为

，圆O：x²+y²＝2与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过圆O上任意一点作圆的切线交椭圆C于点M，N，求证：以MN为直径的圆过点O．

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20. （本题12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为梯形，CD∥AB，AB⊥BC，PA⊥PD，BC＝CD＝PA＝PD＝1，AB＝2，平面PAD⊥平面PBC．
（1）若PB的中点为N，求证：CN∥平面PAD；
（2）求二面角P﹣AD﹣B的正弦值．

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21. （本题12分）已知

，g（x）＝a（x+1）．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当a＞0时，若关于x的方程f（x）+g（x）＝0存在两个正实数根x₁，x₂（x₁＜x₂），证明：a＞e²且x₁x₂＜x₁+x₂．

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22. （本题10分）在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为

．
（1）写出C₁的普通方程和C₂的直角坐标方程；
（2）设点P在C₁上，点Q在C₂上，求|PQ|的最小值以及此时P的直角坐标．

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23. （本题0分）设函数f（x）＝|x+1|﹣3|x﹣1|．
（1）作出函数f（x）的图象，并求f（x）的值域；
（2）若存在x，使得不等式f（x）≥|4x﹣a|成立，求实数a的取值范围．

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2024-02-27

高中数学 | 考试 | 难度:1.7

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