如图甲在直角三角形中已知分别是的中点将沿折起使点到达点的位置且连接得到如图乙所示的四棱锥为线段上一点证明平面平面过三点的平面与线段相交于点从下列三个条件中选择一个作为已知条件求直线与平面所成角的正弦值直线与所成角的大小为三棱锥的体积是三棱锥体积的

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170301. （2022•西安中学•高二上期末）如图甲，在直角三角形ABC中，已知AB⊥BC，BC＝4，AB＝8，D，E分别是AB，AC的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达点A′的位置，且A′D⊥BD，连接A′B，A′C，得到如图乙所示的四棱锥A′﹣DBCE，M为线段A′D上一点．

（Ⅰ）证明：平面A′DB⊥平面DBCE；
（Ⅱ）过B，C，M三点的平面与线段A'E相交于点N，从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求直线DN与平面A′BC所成角的正弦值．
①BM＝BE；
②直线EM与BC所成角的大小为45°；
③三棱锥M﹣BDE的体积是三棱锥E﹣A'BC体积的

．

共享时间:2022-02-23 难度:4

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[考点]

棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角，平面与平面垂直，直线与平面所成的角，

[答案]

（Ⅰ）证明见解析；

（Ⅱ）

．

[解析]

（Ⅰ）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE∥BC．
∵AD⊥BC，∴AD⊥DE，∴A'D⊥DE．
∵A'D⊥BD，DE∩DB＝D，∴A′D⊥平面BDEC．
又A'D⊂平面A'DB，
∴平面A′DB⊥平面DBCE．
（Ⅱ）解：选①，BM＝BE；
∵BM＝BE，∠BDM＝∠BDE＝90°，
∴△BDM≅△BDE，∴DE＝DM＝2，
∴M为A'D的中点．
选②，直线EM与BC所成角的大小为45°；
∵BC∥DE，∴直线EM与BC所成角为∠MED．
又直线EM与BC所成角的大小为45°，∴∠MED＝45°
∵A'D⊥DE，∴DE＝DM＝2，
∴M为A'D的中点．
选③，三棱锥M﹣BDE的体积是三棱锥E﹣A'BC体积的

．
∵

，

又

，即

，∴A'D＝2MD
∴M为A'D的中点．
∵过B，C，M三点的平面与线段A'E相交于点N
DE∥BC，BC⊄平面A′DE，∴BC∥平面A′DE．
又平面BMNC∩平面A'DE＝MN，∴BC∥MN，∴N为A'E的中点．
∵DE，DB，DA'两两互相垂直，∴以D为坐标原点，向量

的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz．

则D（0，0，0），A′（0，0，4），N（1，0，2），B（0，4，0），C（4，4，0）；

．
设平面A'BC的一个法向量为

，直线DN与平面A'BC所成的角为θ．
则

，
令y＝1，得

．
则

．
∴直线DN与平面A'BC所成角的正弦值为

．

[点评]

本题考查了"棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角，平面与平面垂直，直线与平面所成的角，"，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

168481. （2021•西安中学•三模）如图所示，ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面BCE，且AE＝1．
（Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面ABE；
（Ⅱ）线段AD上是否存在一点F，使三棱锥C﹣BEF的高h＝

？若存在，请求出

的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-04-14 难度:2 相似度:1.5

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166797. （2024•西安工业大学附中•高二上一月）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，CD＝4，PA＝AB＝BC＝AD＝2，Q为棱PC上的一点，且PQ＝

PC．
（Ⅰ）证明：平面QBD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线QD与平面PBC所成角的正弦值．

共享时间:2024-10-20 难度:2 相似度:1.5

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168194. （2023•西工大附中•八模）如图1，四边形ABCD为矩形，BC＝2AB，E为AD的中点，将△ABE、△DCE分别沿BE、CE折起得图2，使得平面ABE⊥平面BCE，平面DCE⊥平面BCE．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面DCE；
（Ⅱ）若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值．

共享时间:2023-06-11 难度:2 相似度:1.5

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168102. （2023•西工大附中•十三模）如图，已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，∠ACB＝90°，AC₁⊥A₁C，D为线段A₁C上的动点，AC₁⊥BD．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面ABC；
（2）若AA₁⊥AC，D为线段A₁C的中点，AC＝2BC＝2，求B₁D与平面A₁BC所成角的余弦值．

共享时间:2023-07-20 难度:2 相似度:1.5

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168079. （2023•西工大附中•十三模）如图，已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，∠ACB＝90°，AC₁⊥A₁C，D为线段A₁C上的动点，AC₁⊥BD．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面ABC；
（2）若AA₁⊥AC，D为线段A₁C的中点，AC＝2BC＝2，求B₁D与平面A₁BC所成角的正弦值．

共享时间:2023-07-27 难度:2 相似度:1.5

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168056. （2023•长安区一中•二模）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，四边形AA₁C₁C是边长为4的菱形．

，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面B₁BD与棱A₁C₁交于点E．
（1）求证：BB₁∥DE；
（2）若

，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，∠A₁AC＝60°，求直线BC与平面B₁BDE所成角的正弦值．

共享时间:2023-03-28 难度:2 相似度:1.5

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19749. （2021•陕西省•乙卷）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM．
（1）证明：平面PAM⊥平面PBD；
（2）若PD＝DC＝1，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

共享时间:2021-06-21 难度:4 相似度:1.5

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167647. （2024•西安中学•一模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（Ⅰ）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA∥平面BDE，求三棱锥E﹣BCD的体积．

共享时间:2024-03-07 难度:2 相似度:1.5

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166466. （2024•铁一中学•高三上三月）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁与BB₁的距离为

，AB＝AC＝A₁B＝2，A₁C＝BC＝2

．
（1）证明：平面A₁ABB₁⊥平面ABC；
（2）若点N在棱A₁C₁上，求直线AN与平面A₁B₁C所成角的正弦值的最大值．

共享时间:2024-01-29 难度:2 相似度:1.5

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166588. （2024•华清中学•高二上一月）如图，三棱台ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面四边形ACC₁A₁为等腰梯形，底面三角形ABC为正三角形，且AC＝2A₁C₁＝2．设D为棱A₁C₁上的点．
（1）若D为A₁C₁的中点，求证：AC⊥BD；
（2）若三棱台ABC﹣A₁B₁C₁的体积为

，且侧面ACC₁A₁⊥底面ABC，试探究是否存在点D，使直线BD与平面BCC₁B₁所成角的正弦值为

？若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由．

共享时间:2024-10-12 难度:2 相似度:1.5

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167854. （2024•西工大附中•模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC＝60°的菱形，M为棱PC上的动点且

．
（Ⅰ）求证：△PBC为直角三角形；
（Ⅱ）试确定λ的值，使得三棱锥P﹣AMD的体积为

．

共享时间:2024-03-05 难度:1 相似度:1.25

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167279. （2023•长安区一中•高三上五月）如图，△ABC，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把AEF折起，使点A到达点P的位置，且PB＝BE．
（Ⅰ）证明：EF⊥平面PBE；
（Ⅱ）设N为线段PF上动点，求直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值．