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169273. (2025•西工大附中•高二上期末) 已知双曲线的右焦点为F(3,0),右顶点为A,直线lx=1与x轴交于点E,且
(1)求C的方程;
(2)若Gl上不同于点E的动点,直线GFy轴于点H,过点GC的两条切线GPGQ,分别交y轴于点PQ,交x轴于点MN
i)证明:|PH|=|QH|;
ii)证明:S表示面积).
共享时间:2025-02-18 难度:1
[考点]
直线与双曲线的综合,
[答案]
(1)
(2)(i)证明过程见解析;
ii)证明过程见解析.
[解析]
解:(1)易知Aa,0),
因为直线lx=1与x轴交于点E,且
所以a|a﹣1|=3﹣a
a≤1,
此时a(1﹣a)=3﹣a
a2﹣2a+3=0,该方程无解,
a>1,
此时aa﹣1)=3﹣a
a2=3,
所以
则双曲线C的方程为
(2)证明:设G(1,t),
易知过点G且与C相切的直线的斜率存在且不等于0和
设切线的方程为
联立,消去y并整理得(2﹣k2x2﹣2ktkx﹣(tk2﹣6=0,
此时Δ=4k2tk2﹣4(2﹣k2)[﹣(tk2﹣6]=0,
整理得2k2+2tkt2﹣6=0.
设切线GMGN的斜率分别为k1k2
k1+k2=﹣t
i)易知直线GF的方程为
x=0,
解得
因为直线GM的方程为yk1x﹣1)+t,直线GN的方程为yk2x﹣1)+t
所以yP=﹣k1+tyQ=﹣k2+t
所以yP+yQ=﹣(k1+k2)+2tt+2t=3t=2yH
HPQ的中点,
故|PH|=|QH|;
ii)易知E(1,0),F(3,0),
所以
因为k1+k2=﹣t
所以


因为△GME,△GMF,△GNE,△GNF的高相等.
所以

声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2025/3/11 9:52
[点评]
本题考查了"直线与双曲线的综合,",属于"常考题",熟悉题型是解题的关键。
转载声明:
本题解析属于发布者收集录入,如涉及版权请向平台申诉! !版权申诉
166450. (2024•西工大附中•高三上二月) .已知双曲线C:4x2y2m,点P1(1,1)在C上.按如下方式构造点Pnn≥2);过点Pn﹣1作斜率为1的直线与C的左支交于点Qn﹣1,点Qn﹣1关于y轴的对称点为Pn,记点Pn的坐标为(xnyn).
(1)求点P2P3的坐标;
(2)记an=2xnyn,证明:数列{an}为等比数列;
(3)O为坐标原点,GH分别为线段PnPn+2Pn+1Pn+3的中点,记△OPn+1Pn+2,△OGH的面积分别为S1S2,求的值.
共享时间:2024-12-24 难度:1 相似度:2
167649. (2024•西安中学•一模) 已知双曲线C,其左、右顶点分别为AB,其离心率为2,且虚轴长为
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)一动点TAB的连线分别与双曲线的右支交于PQ两点,且PQ恒过双曲线的右焦点,求证:点T在定直线上.
共享时间:2024-03-07 难度:2 相似度:1.5
167741. (2024•西安一中•四模) 已知双曲线C=1(a>0,b>0)的离心率为,虚轴长为2.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点,且与双曲线C的两条渐近线分别交于PQ两点,O为坐标原点,证明:△OPQ的面积为定值.
共享时间:2024-04-26 难度:2 相似度:1.5
167920. (2024•西安工业大学附中•六模) 已知双曲线Γ:的实轴长为4,左、右焦点分别为F1F2,其中F2到其渐近线的距离为1.
(1)求双曲线Γ的标准方程;
(2)若点P是双曲线Γ在第一象限的动点,双曲线Γ在点P处的切线l1x轴相交于点T
i)证明:射线PT是∠F1PF2的角平分线;
ii)过坐标原点O的直线l2l1垂直,与直线PF1相交于点Q,求△QF1F2面积的取值范围.
共享时间:2024-05-20 难度:2 相似度:1.5
167922. (2024•西安工业大学附中•六模) 已知双曲线Γ:的实轴长为4,左、右焦点分别为F1F2,其中F2到其渐近线的距离为1
1)求双曲线Γ的标准方程;
2)若点P是双曲线Γ在第一象限的动点,双曲线Γ在点P处的切线l1x轴相交于点T
i)证明:射线PT是∠F1PF2的角平分线;
ii)过坐标原点O的直线l2l1垂直,与直线PF1相交于点Q,求△QF1F2面积的取值范围.
共享时间:2024-05-20 难度:2 相似度:1.5
168081. (2023•西工大附中•十三模) 已知双曲线C的右顶点为AO为原点,点P(1,1)在C的渐近线上,△PAO的面积为
(1)求C的方程;
(2)过点P作直线lCMN两点,过点Nx轴的垂线交直线AM于点GHNG的中点,证明:直线AH的斜率为定值.
共享时间:2023-07-27 难度:2 相似度:1.5
168104. (2023•西工大附中•十三模) 已知双曲线C的右顶点为AO为原点,点P(1,1)在C的渐近线上,△PAO的面积为
(1)求C的方程;
(2)过点P作直线lCMN两点,过点Nx轴的垂线交直线AM于点GHNG的中点,证明:直线AH的斜率为定值.
共享时间:2023-07-20 难度:2 相似度:1.5
171106. (2024•西安三中•高二上期中) 已知AB分别是双曲线的左、右顶点,PC上异于AB的一点,直线PAPB的斜率分别为k1k2,且k1k2=|AB|=4.
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知过点(4,0)的直线lxmy+4,交C的左,右两支于DE两点(异于AB),
i)求m的取值范围;
ii)设直线AD与直线BE交于点Q,求证:点Q在定直线上.
共享时间:2024-11-16 难度:2 相似度:1.5
166332. (2024•西安中学•高二上二月) 彗星是太阳系大家庭里特殊的一族成员,它们以其明亮的尾巴和美丽的外观而闻名,它的运行轨道和行星轨道很不相同,一般为极扁的椭圆形、双曲线或抛物线.它们可以接近太阳,但在靠近太阳时,由于木星、土星等行星引力的微绕造成了轨道参数的偏差,使得它轨道的离心率由小于1变为大于或等于1,这使得少数彗星会出现“逃逸”现象,终生只能接近太阳一次,永不复返.通过演示,现有一颗彗星已经“逃逸”为以太阳为其中一个焦点,离心率为2的运行轨道,且慧星距离太阳的最近距离为1.
(1)若焦点的位置在x轴,求彗星“逃逸”轨道C的标准方程;
(2)设直线lC的一个焦点,且与C交于AB两点,当时,求|AB|的值.
共享时间:2024-12-23 难度:3 相似度:1.33

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2025-02-18

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2020*西工大*期末
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