已知函数的图象在原点处的切线的斜率为求的值若求曲线的过点的切线方程

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169270. （2025•西工大附中•高二上期末）已知函数f（x）＝x³﹣（a+1）x²+a（a+1）x（a∈R）的图象在原点处的切线的斜率为2．
（1）求a的值；
（2）若a＞0，求曲线y＝f（x）的过点A（1，1）的切线方程．

共享时间:2025-02-18 难度:1

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[考点]

利用导数求解曲线在某点上的切线方程，

[答案]

（1）a＝﹣2或1；

（2）3x﹣4y+1＝0或x﹣y＝0．

[解析]

解：（1）由f（x）＝x³﹣（a+1）x²+a（a+1）x，
可得f′（x）＝3x²﹣2（a+1）x+a（a+1），
又f（x）的图象在原点处的切线的斜率为2，
则f′（0）＝a（a+1）＝2，解得a＝﹣2或1；
（2）因为a＞0，所以由（1）可得a＝1，
所以f（x）＝x³﹣2x²+2x，f′（x）＝3x²﹣4x+2，
设切点坐标为（t，t³﹣2t²+2t），则切线的斜率k＝3t²﹣4t+2，
所以切线方程为y﹣（t³﹣2t²+2t）＝（3t²﹣4t+2）（x﹣t），
因为切线过点A（1，1），所以1﹣（t³﹣2t²+2t）＝（3t²﹣4t+2）（1﹣t），
得（t﹣1）²（2t﹣1）＝0，解得

或t＝1，
所以切线方程为3x﹣4y+1＝0或x﹣y＝0．

[点评]

本题考查了"利用导数求解曲线在某点上的切线方程，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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