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2024-2025学年陕西师大附中高二（上）月考数学试卷（10月份）

试卷总分:120分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(11小题共50分)

1. （本题4分）已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β＝l，则l（　　）

A.与m，n都相交

B.与m，n中至少一条相交

C.．与m，n都不相交

D.至多与m，n中的一条相交

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2. （本题4分）如果实数x，y满足等式（x﹣2）²+y²＝3，那么

的最小值是（　　）

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3. （本题4分）如图ABCD﹣A₁B₁C₁D₁是正方体，B₁E₁＝D₁F₁＝

，则BE₁与DF₁所成的角的余弦值是（　　）

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4. （本题4分）瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A（﹣4，0），B（0，4），C（2，0），则该三角形的欧拉线方程是（　　）

A.x+y﹣2＝0

B.x﹣2y+1＝0

C.x﹣y+2＝0

D.2x﹣y+2＝0

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5. （本题4分）已知直线l过点（1，3），若l与x轴，y轴的正半轴围成的三角形的面积为S，则S的值可能是（　　）

A.3

B.4

C.5

D.6

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6. （本题4分）已知点M（﹣1，1），N（2，1），且点P在直线l：x+y+2＝0上，则下列命题中错误的是（　　）

A.存在点P，使得PM⊥PN	B.存在点P，使得2\|PM\|＝\|PN\|
C.\|PM\|+\|PN\|的最小值为	D.\|\|PM\|﹣\|PN\|\|的最大值为3

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7. （本题4分）已知正三棱台ABC﹣A₁B₁C₁的侧面积为6，AB＝3A₁B₁，

，则AA₁与平面ABC所成角的余弦值为（　　）

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8. （本题4分）若方程组

至少有一解，且所有的解都是整数解，则有序实数对（a，b）的组数为（　　）

A.60	B.66
C.72	D.．78

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9. （本题6分）已知圆C₁：（x﹣3）²+y²＝4，圆C₂：x²+y²＝1，则（　　）

A.圆C₁与圆C₂内切

B.直线x＝1是两圆的一条公切线

C.直线x＝my+2被圆C₁截得的最短弦长为

D.过点作圆C₂的切线有两条

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10. （本题6分）在三棱锥A﹣BCD中，已知AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则（　　）

A.MN⊥AD

B.平面AND⊥平面ABC

C.三棱锥A﹣BCD的体积为

D.三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为11π

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11. （本题6分）设m∈R，过定点A的动直线x+my＝0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3＝0交于点P（x，y），则（　　）

A.|AB|＝10

B.|PA||PB|的最大值是5

C.|PA|+|PB|的取值范围是

D.|PA|+2|PB|的最大值是

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二、填空题(3小题共12分)

12. （本题4分）已知

，其中若α∈R，则

＝　　．

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13. （本题4分）为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A，B，C三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距5km，且与C村相距

的地方．已知B村在A村的正东方向，相距

，C村在B村的正北方向，相距3km，则垃圾处理站M与B村相距　 km．

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14. （本题4分）连接三角形三边中点所得的三角形称为该三角形的“中点三角形”，定义一个多面体的序列P_i（i＝0，1，2，⋯，）；P₀是体积为1的正四面体，P_i₊₁是以P_i的每一个面上的中点三角形为一个面再向外作正四面体所构成的新多面体．则P₄的体积为　．

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三、解答题(5小题共58分)

15. （本题10分）已知坐标平面内两点M（m+3，3m+5），N（2m﹣1，1）．
（1）当直线MN的倾斜角为锐角时，求m的取值范围；
（2）若直线MN的方向向量为

，求m的值．

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16. （本题12分）已知圆心为C的圆经过A（1，1）和B（2，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1＝0上
（1）求圆心为C的圆的标准方程；
（2）线段PQ的端点P的坐标是（5，0），端点Q在圆C上运动，求线段PQ中点M的轨迹方程．

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17. （本题12分）已知圆C：（x﹣3）²+（y﹣3）²＝10，直线l：x+y﹣6＝0．
（1）若从点M（4，1）发出的光线经过直线y＝﹣x反射，反射光线l₁恰好平分圆C的圆周，求反射光线l₁的一般方程．
（2）若点Q在直线l上运动，A（4，0），B（0，4），求|QA|²+|QB|²的最小值．

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18. （本题12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，△ABC为边长为2的正三角形，AA₁＝3，D为AC中点，点E在棱CC₁上，且CE＝λCC₁，0＜λ＜1．
（1）当

时，求证A₁E⊥平面BDE；
（2）设O₁为底面A₁B₁C₁的中心，求直线CO₁与平面BDE所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时λ的值．

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19. （本题12分）如图，经过原点O的直线与圆M：（x+1）²+y²＝4相交于A，B两点，过点C（1，0）且与AB垂直的直线与圆M的另一个交点为D．
（1）当点B坐标为（﹣1，﹣2）时，求直线CD的方程；
（2）记点A关于x轴对称点为F（异于点A，B），求证：直线BF恒过x轴上一定点，并求出该定点坐标；
（3）求四边形ABCD的面积S的取值范围．

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dygzsxyn

2024-10-30

高中数学 | 考试 | 难度:1.42

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A.存在点P，使得PM⊥PN	B.存在点P，使得2\|PM\|＝\|PN\|
C.\|PM\|+\|PN\|的最小值为	D.\|\|PM\|﹣\|PN\|\|的最大值为3

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