如图经过原点的直线与圆相交于两点过点且与垂直的直线与圆的另一个交点为当点坐标为时求直线的方程记点关于轴对称点为异于点求证直线恒过轴上一定点并求出该定点坐标求四边形的面积的取值范围

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166275. （2024•师大附中•高二上一月）如图，经过原点O的直线与圆M：（x+1）²+y²＝4相交于A，B两点，过点C（1，0）且与AB垂直的直线与圆M的另一个交点为D．
（1）当点B坐标为（﹣1，﹣2）时，求直线CD的方程；
（2）记点A关于x轴对称点为F（异于点A，B），求证：直线BF恒过x轴上一定点，并求出该定点坐标；
（3）求四边形ABCD的面积S的取值范围．

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[考点]

直线与圆的位置关系，

[答案]

（1）x+2y﹣1＝0；（2）（3，0）；（3）（0，4

]．

[解析]

解：（1）∵B为（﹣1，﹣2），O（0，0），
∴AB的斜率为

＝2，又CD⊥AB，
∴CD的斜率为

，又C（1，0），
∴直线CD的方程y＝

（x﹣1），即x+2y﹣1＝0；
（2）根据题意可得AB直线的斜率存在且不为0，又AB过原点O（0，0），
∴设直线AB方程为y＝kx，联立圆M：（x+1）²+y²＝4，
可得（k²+1）x²+2x﹣3＝0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

，又F（x₁，﹣y₁），
∴直线BF为

，
令y＝0，可得x＝

＝

＝3，
∴直线BF恒过x轴上定点（3，0）；
（3）设圆心M（﹣1，0）到直线AB的距离平方为m，则m∈（0，|MO|²]，即m∈（0，1]，
设圆心M（﹣1，0）到直线CD的距离平方为n，
根据圆的几何性质及平面几何知识易得

＝4，∴n＝4﹣4m，
又|AB|＝

＝

，|CD|＝

＝

＝4

，
∴四边形ABCD的面积S＝

＝

，又m∈（0，1]，
∴S＝f（m）∈（f（0），f（1）]，即S∈（0，4

]，
∴四边形ABCD的面积S的取值范围为（0，4

]．

[点评]

本题考查了"直线与圆的位置关系，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

170914. （2024•滨河中学•高二上期中）已知圆O：x²+y²＝8，过点P（4，0）的直线与圆O相切，切点M在第一象限，M在x轴上的射影为点F．
（1）求F的坐标；
（2）过P且斜率不为零的另一条直线与圆O交于A，B两点，A在线段PB上，设N为线段FP的中点，直线BN交直线MF于点Q，证明：AQ与x轴平行．

共享时间:2024-11-30 难度:1 相似度:2

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236023. （2018•西安中学•高一上期末）已知点P（2，0）及圆C：x²+y²﹣6x+4y+4＝0．
（1）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；
（2）设过点P的直线l₁与圆C交于M、N两点，当|MN|＝4时，求以线段MN为直径的圆Q的方程；
（3）设直线ax﹣y+1＝0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l₂垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2018-02-16 难度:1 相似度:2

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232571. （2023•黄河中学•高二上二月）已知A（0，﹣1），B（2，3）两点，线段AB是圆M的直径．
（1）求圆M的圆心坐标和半径；
（2）若直线x﹣2y+m＝0与圆M相切，求m．

共享时间:2023-12-28 难度:1 相似度:2

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231396. （2016•西工大附中•七模）设一动圆过点F₂（1，0），且与定圆F₁：（x+1）²+y²＝16相切．
（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹方程；
（Ⅱ）设过点F₂的直线l与动圆圆心轨迹交于M，N两点，是否存在直线l，使得

•

＝﹣2，若存在请求出直线l的方程，若不存在请说明理由．

共享时间:2016-06-05 难度:1 相似度:2

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231344. （2016•西工大附中•十模）已知圆C的圆心是直线x﹣y+1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3＝0相切．
（I）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）过原点O的动直线l与圆C交于A、B两点，问x轴上是否存在定点M（x₀，0），使得当l变动时，总有MA，MB的斜率之和为0？若存在，求出x₀的值；若不存在，说明理由．

共享时间:2016-06-25 难度:1 相似度:2

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230980. （2017•高新一中•一模）已知圆C的方程为x²+y²＝4，点P是圆C上任意一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，且

＝

（

），动点Q的轨迹为E．轨迹E与x轴、y轴的正半轴分别交于点A和点B；直线y＝kx（k＞0）与直线AB相交于点D，与轨迹E相交于M、N两点．
（Ⅰ）求轨迹E的方程；
（Ⅱ）求四边形AMBN面积的最大值．

共享时间:2017-03-08 难度:1 相似度:2

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230842. （2019•高新一中•一模）已知圆C的方程为x²+y²＝4，点P是圆C上任意一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，且

＝

（

共享时间:2019-03-06 难度:1 相似度:2

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236476. （2016•西安中学•高一上期末）已知圆O：x²+y²＝2，直线l过两点A（1，﹣

），B（4，0）
（1）求直线l的方程；
（2）若P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，求证：直线CD过定点，并求出定点坐标．

共享时间:2016-02-08 难度:1 相似度:2

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166737. （2024•交大附中•高二上一月）已知椭圆

的左焦点为F，P是椭圆上任意一点，|PF|的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知

是椭圆内一点，过点M任作一条直线与椭圆交于B、C两点，求以M为中点的弦所在的直线方程．

共享时间:2024-10-26 难度:5 相似度:2

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236375. （2017•长安区一中•高二上期末）一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）²+y²＝8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．
（1）求M的轨迹C的方程；
（2）直线l：y＝kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若

，求△ABO的面积的取值范围．

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171391. （2023•西安中学•高二上期中）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，加以解答
①与直线4x﹣3y+5＝0垂直；
②过点（5，﹣5）；
③与直线3x+4y+2＝0平行；
问题：已知直线l过点P（1，﹣2），且______．
（1）求直线l的一般式方程；
（2）若直线l与圆x²+y²＝5相交于点P，Q，求弦PQ的长．

共享时间:2023-11-16 难度:1 相似度:2

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170055. （2023•西工大附中•高二上期末）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x²+y²﹣4x＝0及点A（﹣1，0），B（1，2）．
（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于D，E两点，且DE＝AB，求直线l的方程；
（2）对于线段AC上的任意一点Q，若在以点B为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段QN的中点，求圆B的半径r的取值范围．