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2024-2025学年陕西省西安市长安一中高三（上）第四次月考数学试卷

试卷总分:100分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(11小题共58分)

1. （本题5分）已知集合

，B＝{x∈N|x²≤4x}，则A∩B＝（　　）

A.[0，1]∪[3，4]

B.．[0，1）∪[3，4]

C.．{2，3}

D.{0，3，4}

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2. （本题5分） “a＞b”是“ln（a²+e）＞ln（b²+e）”的（　　）

A.充要条件	B.充分不必要条件
C.必要不充分条件	D.既不充分也不必要条件

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3. （本题5分）已知α，β∈（0，π），且

，则cosβ＝（　　）

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4. （本题5分）如图，在平面四边形ABCD中，AC与BD交于点O，且AC⊥BD，OA＝1，OB＝OC＝OD＝2，剪去△COD，将△AOD沿OA翻折，△BOC沿OB翻折，使点C与点D重合于点P，则翻折后的三棱锥P﹣AOB外接球的表面积为（　　）

A.5π

B.8π

C.9π

D.13π

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5. （本题5分）已知正项等比数列{a_n}的前3项和为21，且

，则a₂＝（　　）

B.2

C.．6

D.4

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6. （本题5分）双曲线

的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁作斜率为正且与C的某条渐近线垂直的直线l与双曲线C在第一象限交于A，

，则C的离心率为（　　）

B.．

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7. （本题5分）四边形ABCD是边长为4的正方形，点P是正方形内的一点，且满足

，则

的最大值是（　　）

A.1+

B.．

D.．

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8. （本题5分）已知正数m，n满足

，若m+2n≤λmn²恒成立，则实数λ的最小值为（　　）

D.．

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9. （本题6分）在复平面内，若复数z对应的点为（1，3），则（　　）

B.．z²＝10

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10. （本题6分）已知函数y＝f（x+1）为奇函数，且f（1﹣x）＝f（x+3），当x∈[0，1]时，f（x）＝2﹣2^x，则（　　）

A.f（x）的图象关于点（1，0）对称

B.f（x）的图象关于直线x＝2对称

C.f（x）的最小正周期为2

D.f（1）+f（2）+…+f（30）＝﹣1

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11. （本题6分）已知

在

上有且仅有2个极值点，则下列结论正确的是（　　）

A.4＜ω＜5

B.．若f（x）关于直线对称，则f（x）的最小正周期

C.若f（x）关于点对称，则f（x）在上单调递增

D.∃ω∈（0，+∞），使得f（x）在上的最小值为

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二、填空题(3小题共15分)

12. （本题5分）已知函数f（x）＝e^xlnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为　　．

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13. （本题5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P（

，0），A、B是圆C：x²+（y﹣

）²＝36上的两个动点，满足PA＝PB，则△PAB面积的最大值是　　．

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14. （本题5分）设函数f（x）＝（x+lna）ln（x+b），若f（x）≥0，则ab的最小值为　．

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三、解答题(6小题共27分)

15. （本题4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA＝acos（B﹣

）．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．

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16. （本题4分）如图，四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝1，CD＝2，BD₁⊥CD．点M为CD₁的中点，且CD₁＝2BM．
（1）证明：平面BDM⊥平面BCD₁；
（2）若钝二面角B﹣DM﹣C的余弦值为﹣

，当BD₁＞BD时，求BD₁的长．

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17. （本题4分）已知函数f（x）＝a^x，g（x）＝log_ax，其中a＞1．
（1）求函数h（x）＝f（x）﹣xlna的单调区间；
（2）若曲线y＝f（x）在点（x₁，f（x₁））处的切线与曲线y＝g（x）在点（x₂，g（x₂））处的切线平行，证明x₁+g（x₂）＝﹣

．

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18. （本题4分）设椭圆

＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为

，点A的坐标为（b，0），且|FB|•|AB|＝6

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y＝kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若

＝

sin∠AOQ（O为原点），求k的值．

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19. （本题4分）脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17．
（1）试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）
（2）假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且X～N（17，σ²），其中σ²近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率．
附：若随机变量×服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ﹣σ≤×≤μ+σ≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，

≈4.7，

≈4.8，0.15865³≈0.004．

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20. （本题7分）设复数z＝a+bi（a，b∈R）对应复平面内的点Z，设∠XOZ＝θ，|OZ|＝r，则任何一个复数z＝a+bi都可以表示成z＝r（cosθ+isinθ）的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若0≤θ＜2π，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．
（1）若z＝r（cosθ+isinθ），证明：z³＝r³（cos3θ+isin3θ），并写出zⁿ的三角形式（无需证明）；
（2）求方程x⁵＝1虚根的实部；
（3）证明：n∈N^*时，

．
参考数据：

．

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2024-02-12

高中数学 | 考试 | 难度:2.05

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