如图在直三棱柱中为边长为的正三角形为中点点在棱上且当时求证平面设为底面的中心求直线与平面所成角的正弦值的最大值并求取得最大值时的值

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166274. （2024•师大附中•高二上一月）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，△ABC为边长为2的正三角形，AA₁＝3，D为AC中点，点E在棱CC₁上，且CE＝λCC₁，0＜λ＜1．
（1）当

时，求证A₁E⊥平面BDE；
（2）设O₁为底面A₁B₁C₁的中心，求直线CO₁与平面BDE所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时λ的值．

共享时间:2024-10-30 难度:2

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[考点]

直线与平面垂直，空间向量法求解直线与平面所成的角，

[答案]

（1）证明见解析；
（2）最大值为

，此时

．

[解析]

（1）证明：取A₁C₁的中点D₁，连接DD₁，
因为三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁为直棱柱，且△ABC为正三角形，
所以以DB，DC，DD₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，

根据已知条件得

，C（0，1，0），C₁（0，1，3），
当

时，

，所以E（0，1，2），
所以

，
因为

，
所以

，即A₁E⊥DB，A₁E⊥DE，
又DB∩DE＝D，而BD，DE⊂平面BDE，所以A₁E⊥平面BDE．
（2）解：由（1）知

，E（0，1，3λ）（0＜λ＜1），

，
因为O₁为△A₁B₁C₁的中心，所以

，

，
设平面BDE的法向量

，
则

，即

，令z＝1，则

，
设直线CO₁与平面BDE所成角为θ，
则

＝

，
令9λ+4＝t（4＜t＜13），则

，
此时

，
因为

，当且仅当t＝5，即

时取等号，
所以

，
即直线CO₁与平面BDE所成角正弦的最大值为

，此时λ的值为

．

[点评]

本题考查了"直线与平面垂直，空间向量法求解直线与平面所成的角，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

166757. （2024•建大附中•一模）如图，在九面体ABCDEFGH中，平面AGF⊥平面ABCDEF，平面AFG∥平面HCD，

，AB＝6，底面ABCDEF为正六边形．
（1）证明：GH∥平面ABCDEF．
（2）证明：GH⊥平面AFG．
（3）求GE与平面ABG所成角的正弦值．

共享时间:2024-03-13 难度:3 相似度:1.67

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170168. （2023•铁一中学•高二上期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2，BC＝a，PA⊥底面ABCD．
（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC？证明你的结论；
（2）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围．

共享时间:2023-02-15 难度:1 相似度:1.5

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169739. （2023•师大附中•高二下期末）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2

，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在BC上且

＝2，求点M到平面PAB的距离．

共享时间:2023-07-03 难度:2 相似度:1

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170145. （2023•铁一中学•高二下期末）如图，已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，∠ACB＝90°，AC₁⊥A₁C，D为线段A₁C上的动点，AC₁⊥BD．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面ABC；
（2）若AA₁⊥AC，D为线段A₁C的中点，AC＝2BC＝2，求B₁D与平面A₁BC所成角的余弦值．

共享时间:2023-07-12 难度:2 相似度:1

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170081. （2023•铁一中学•高一下期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，

，AD∥BC，AB＝AC，∠BAD＝150°，∠PDA＝30°．
（1）证明：PA⊥平面ABCD；
（2）在线段PD上是否存在一点F，使直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于

？

共享时间:2023-07-06 难度:2 相似度:1

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170057. （2023•西工大附中•高二上期末）棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是DD₁，DB的中点，G在棱CD上，且CG＝

CD．
（Ⅰ）证明：EF⊥B₁C；
（Ⅱ）求cos＜

，

＞．

共享时间:2023-03-01 难度:2 相似度:1

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169945. （2023•长安区一中•高二上期末）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AB∥DC，BC⊥AB，CD＝SD，平面SCD⊥平面SBC．
（1）求证：BC⊥平面SCD；
（2）设BC＝CD＝8，SB＝16，求三棱锥S﹣BCD的体积．

共享时间:2023-02-10 难度:2 相似度:1

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169876. （2023•长安区一中•高一下期末）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，E为P在底面ABC内的投影，且E为△ABC的垂心．
（1）若F为C在PAB内的投影，证明：PF⊥AB；
（2）当三棱锥P﹣ABC为正三棱锥且AB＝6，PC与平面ABC所成角为

时，求点C到平面PAB的距离．

共享时间:2023-07-01 难度:2 相似度:1

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261. （2014•陕西省•真题）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．
（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；
（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．

共享时间:2014-07-07 难度:3 相似度:1

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169569. （2024•师大附中•高二下期末）如图，在四棱台ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD＝120°，侧棱AA₁⊥底面ABCD，M为棱CD上的点．AD＝A₁A＝2，A₁B₁＝DM＝1．
（1）求证：AM⊥A₁B；
（2）若M为CD的中点，N为棱DD₁上的点，且