已知圆直线若从点发出的光线经过直线反射反射光线恰好平分圆的圆周求反射光线的一般方程若点在直线上运动求的最小值

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166273. （2024•师大附中•高二上一月）已知圆C：（x﹣3）²+（y﹣3）²＝10，直线l：x+y﹣6＝0．
（1）若从点M（4，1）发出的光线经过直线y＝﹣x反射，反射光线l₁恰好平分圆C的圆周，求反射光线l₁的一般方程．
（2）若点Q在直线l上运动，A（4，0），B（0，4），求|QA|²+|QB|²的最小值．

共享时间:2024-10-30 难度:1

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[考点]

直线与圆相交的性质，

[答案]

（1）7x﹣4y﹣9＝0；

（2）20．

[解析]

解：（1）∵反射光线l₁恰好平分圆C的圆周，
圆C：（x﹣3）²+（y﹣3）²＝10，∴l₁经过圆心C（3，3），
设点M（4，1）关于直线y＝﹣x的对称点N（x，y），
则直线MN与直线y＝﹣x垂直，且线段MN的中点在y＝﹣x上，
则有：

，解得

，所以N（﹣1，﹣4），
∴

，
∴直线l₁方程为

，即7x﹣4y﹣9＝0；
（2）由已知点Q在直线l：x+y﹣6＝0上，设Q（m，6﹣m），
则|QA|²+|QB|²＝（4﹣m）²+（﹣6+m）²+（﹣m）²+（4﹣6+m）²
＝4m²﹣24m+56＝4（m﹣3）²+20，则当m＝3时，|QA|²+|QB|²取得最小值为20．

[点评]

本题考查了"直线与圆相交的性质，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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共享时间:2024-10-27 难度:1 相似度:2

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共享时间:2023-10-26 难度:1 相似度:2

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dygzsxyn

2024-10-30

高中数学 | 高二上 | 解答题

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