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2023-2024学年陕西省西安市长安一中高三（上）第二次质检数学试卷（理科）

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共60分)

1. （本题5分）设集合A＝{x|x²+4x﹣5≤0}，B＝{x|lnx＜1}，则A∩B＝（　　）

A.（0，5]

B.（0，e）

C.（0，1]

D.（﹣1，5）

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2. （本题5分）已知复数z满足

，则z在复平面内所对应的点位于（　　）

A.第一象限

B.．第二象限

C.．第三象限

D.第四象限

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3. （本题5分）已知数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是等比数列，若a₂+a₄+a₆＝5π，

，则

＝（　　）

B.．

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4. （本题5分） “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（　　）

A.120种

B.180种

C.．240种

D.．300种

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5. （本题5分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（　　）

B.．

C.．

D.．

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6. （本题5分）执行如图所示程序框图，输出结果为（　　）

A.．6

B.．7

C.．8

D.．9

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7. （本题5分）已知单位向量

与

的夹角为α，且cosα＝

，向量

＝3

﹣2

与

＝3

﹣

的夹角为β，则cosβ等于（　　）

C.．

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8. （本题5分）已知函数

，且

，当ω取最小的可能值时，φ＝（　　）

C.．

D.．

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9. （本题5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为（　　）

D.．

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10. （本题5分）已知双曲线

的右焦点为F，在右支上存在点P，Q，使得POQF为正方形（O为坐标原点），设该双曲线离心率为e，则e²＝（　　）

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11. （本题5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则△PBC的面积为（　　）

C.．

D.．

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12. （本题5分）对于定义在区间D上的函数f（x），若满足：∀x₁，x₂∈D且x₁＜x₂，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）为区间D上的“非减函数”，若f（x）为区间[0，2]上的“非减函数”，且f（2）＝2，f（x）+f（2﹣x）＝2，又当

时，f（x）≤2（x﹣1）恒成立，下列命题中不正确的是（　　）

A.f（1）＝1

C.．，f（x₀）＜1

D.，f（f（x））≤﹣f（x）+2

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二、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁₀＝0，S₁₅＝25，则n+S_n的最小值为　．

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14. （本题5分）

的展开式中含x⁴项的系数为　　．

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15. （本题5分）已知抛物线y²＝4x的焦点为F，点P是其准线上一点，过点P作PF的垂线，交y轴于点A，线段AF交抛物线于点B．若PB平行于x轴，则AF的长度为　　．

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16. （本题5分）若过点P（t，0）可以作曲线y＝（1﹣x）e^x的两条切线，切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁y₂的取值范围是　　

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三、解答题(7小题共70分)

17. （本题12分）某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．现从该地区已选科的学生中随机选出200人，对其选科情况进行统计，选考物理的占60%，选考政治的占75%，物理和政治都选的有80人．
（1）完成选考物理和政治的人数的2×2列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为考生选考物理与选考政治有关？

	选考政治的人数	没选考政治的人数	合计
选考物理的人数
没选考物理的人数
合计

（2）在该地区已选科的考生中随机选出3人，这3人中物理和政治都选了的考生的人数为X，视频率为概率，求X的分布列和数学期望．
附参考数据和公式：

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

，其中n＝a+b+c+d．

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18. （本题12分）已知△ABC为锐角三角形，且cosA+sinB＝

（sinA+cosB）．
（1）若C＝

，求A；
（2）已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围．

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19. （本题12分）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．
（1）证明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．

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20. （本题12分）已知椭圆

的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P（1，0）的动直线与椭圆W相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合）．
（1）求椭圆W的方程及离心率；
（2）若直线CB与直线AD相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，说明理由．

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21. （本题12分）已知函数f（x）＝ax+x²lnx．
（1）证明：当a≤0时，函数f（x）有唯一的极值点；
（2）设a为正整数，若不等式f（x）＜e^x在（0，+∞）内恒成立，求a的最大值．

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22. （本题10分）如图所示，“8”是在极坐标系Ox中分别以

和

为圆心，外切于点O的两个圆．过O作两条夹角为

的射线分别交⊙C₁于O、A两点，交⊙C₂于O、B两点．
（1）写出⊙C₁与⊙C₂的极坐标方程；
（2）求△OAB面积最大值．

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23. （本题0分）．已知a＞0，b＞0，且a+2b＝4，函数f（x）＝|2x+a|+|x﹣b|在R上的最小值为m．
（1）求m的值；
（2）若a²+mb²≥tab恒成立，求实数t的取值范围．

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dygzsxyn

2023-12-15

高中数学 | 考试 | 难度:1.74

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