已知圆心为的圆经过和且圆心在直线上求圆心为的圆的标准方程线段的端点的坐标是端点在圆上运动求线段中点的轨迹方程

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166272. （2024•师大附中•高二上一月）已知圆心为C的圆经过A（1，1）和B（2，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1＝0上
（1）求圆心为C的圆的标准方程；
（2）线段PQ的端点P的坐标是（5，0），端点Q在圆C上运动，求线段PQ中点M的轨迹方程．

共享时间:2024-10-30 难度:1

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[考点]

直线和圆的方程的应用，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：（1）∵A（1，1），B（2，﹣2），
∴k_AB＝

＝﹣3，
∴弦AB的垂直平分线的斜率为

，
又弦AB的中点坐标为（

，﹣

），
∴弦AB的垂直平分线的方程为y+

＝

（x﹣

），即x﹣3y﹣3＝0，
与直线l：x﹣y+1＝0联立，解得：x＝﹣3，y＝﹣2，
∴圆心C坐标为（﹣3，﹣2），
∴圆的半径r＝|AC|＝5，
则圆C的方程为（x+3）²+（y+2）²＝25；
（2）设Q（x₁，y₁），线段PQ的中点M为（x，y）．
则x₁＝2x﹣5，y₁＝2y①．
∵端点Q在圆（x+3）²+（y+2）²＝25上运动，
∴（x₁+3）²+（y₁+2）²＝25．
把①代入得：（2x﹣5+3）²+（2y+2）²＝25．
∴线段PQ的中点M的轨迹方程是

．

[点评]

本题考查了"直线和圆的方程的应用，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

166488. （2024•铁一中学•高二上一月）蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来．如图，已知圆M的方程为x²+（y﹣b）²＝r²，直线x＝my与圆M交于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），直线x＝ny与圆M交于E（x₃，y₃），F（x₄，y₄）．原点O在圆M内．设CF交x轴于点P，ED交x轴于点Q．
（1）当b＝0，

，

，n＝2时，分别求线段OP和OQ的长度；
（2）①求证：

．
②猜想|OP|和|OQ|的大小关系，并证明．

共享时间:2024-10-27 难度:1 相似度:2

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166526. （2024•城关中学•高二上二月）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．

共享时间:2024-12-24 难度:1 相似度:2

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167603. （2023•新城一中•高二上二月）在平面直角坐标系xOy中，设圆C的圆心在y＝x上，且与x轴相切于点（1，0）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点（2，3）且与圆C相切的直线方程．

共享时间:2023-12-19 难度:1 相似度:2

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170553. （2021•西安中学•高一上期末）已知圆C经过点A（0，0），B（7，7），圆心在直线

上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，求直线l的方程．

共享时间:2021-02-10 难度:1 相似度:2

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170641. （2021•长安区一中•高二上期末）已知椭圆C：

＝1和直线l：y＝2x+m．
（1）当椭圆C与直线l有公共点时，求实数m的取值范围；
（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求|AB|的最大值．

共享时间:2021-02-28 难度:5 相似度:2

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2024-10-30

高中数学 | 高二上 | 解答题

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