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2023-2024学年陕西省西安交大附中高一（下）期中数学试卷

试卷总分:120分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共48分)

1. （本题4分）与向量

共线的单位向量是（　　）

A.	B.
C.．或	D.．

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2. （本题4分）如图，一个水平放置平面图形的直观图A'B'C'D'是边长为1的菱形，且O'D'＝1，则原平面图形的面积为（　　）

A.．2

B.1

C.．

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3. （本题4分）已知

，

是不共线的向量，

＝λ

，

＝

+μ

（λ、μ∈R），那么A、B、C三点共线的充要条件为（　　）

A.λ+μ＝2

B.λ﹣μ＝1

C.．λμ＝﹣1

D.λμ＝1

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4. （本题4分）将棱长为4的正方体表面涂成红色，将其适当分成棱长为1的小正方体，则各面均没有颜色的小正方体个数占总的小正方体个数的（　　）

B.．

C.．

D.．

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5. （本题4分）已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|

＝

，且

，则点O，N，P依次是△ABC的（　　）

A.重心外心垂心	B.重心外心内心
C.外心重心垂心	D.外心重心内心

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6. （本题4分）有一封闭透明的正方体形容器，装有容积一半的有颜色溶液，当你任意旋转正方体，静止时液面的形状不可能是（　　）

A.三角形

B.正方形

C.．菱形

D.正六边形

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7. （本题4分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S_甲和S_乙，体积分别为V_甲和V_乙．若

＝2，则

＝（　　）

A.．

B.．2

C.．

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8. （本题4分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c﹣b＝2bcosA．若λsinA﹣cos（C﹣B）＜2恒成立，则实数λ的取值范围为（　　）

B.．

D.．

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9. （本题4分）由下列条件解△ABC，其中只有一解的是（　　）

A.b＝20，A＝45°，C＝80°	B.a＝30，c＝28，B＝60°
C.a＝14，c＝16，A＝45°	D.a＝6，c＝10，A＝60°

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10. （本题4分）对于任意两个向量

，下列命题不正确的是（　　）

B.．若满足，且与同向，则

D.．

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11. （本题4分）已知向量

，

，则下列说法正确的是（　　）

A.若，则	B.．若，θ的值为
C.的取值范围为	D.．存在θ，使得

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12. （本题4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，下列结论正确的选项是（　　）

A.内切球与外接球体积之比为

B.若E、F分别是A₁A，C₁C的中点，则做与直线A₁D₁，EF，DC都相交的直线仅能做一条

C.．若正四面体的4个顶点恰好在正方体的顶点，则正四面体的体积与正方体的体积之比为1：3

D.正方体的各面所在平面将空间分成27部分

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二、填空题(4小题共16分)

13. （本题4分）已知复数

，则

的虚部为　　．

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14. （本题4分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，则“a²+b²＜c²”是“△ABC为钝角三角形”的　　条件．

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15. （本题4分）若平面向量

，两两的夹角相等；且

，则

＝　　．

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16. （本题4分）在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知

，则∠BAC的平分线AD的长度为　．

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三、解答题(6小题共56分)

17. （本题8分）已知复数z＝m²﹣4m+3+（m²﹣3m+2）i（i为虚数单位，m∈R）．
（1）若z为实数，求m的值；
（2）若z为纯虚数，z是关于x的方程x²﹣（3+2i）x+6i＝0的一个根，求方程的另一根．

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18. （本题8分）在如图所示的扇形AOB中，扇形的半径为2，

，点C在弧AB上移动，

．
（1）若

，求x+y的值；
（2）求x+y的最大值．

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19. （本题10分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，

（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a＝2，求△ABC面积的最大值．

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20. （本题10分）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为（

﹣1）km的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2 km的C处的缉私船奉命以10

km/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．（

＝2.449）

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21. （本题10分）在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB⊥BC，

，侧棱长为3，侧面积为

．
（1）求三棱锥B﹣A₁B₁C的体积；
（2）若点D、E分别在三棱柱的棱CC₁，BB₁上，且CD＞BE，线段A₁E，A₁D，DE的延长线与平面ABC交于F、G、H三点，证明：F、G、H共线．

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22. （本题10分）（1）利用向量的方法证明：
cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）探索是否可以用向量法证明：在△ABC中，若

，则

，若可以，请给出详细证明过程．

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2024-05-18

高中数学 | 考试 | 难度:1.86

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