在棱长为的正方体中下列结论正确的选项是内切球与外接球体积之比为若分别是的中点则做与直线都相交的直线仅能做一条若正四面体的个顶点恰好在正方体的顶点则正四面体的体积与正方体的体积之比为正方体的各面所在平面将空间分成部分

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171607. （2024•交大附中•高一下期中）在棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，下列结论正确的选项是（　　）

A.内切球与外接球体积之比为

B.若E、F分别是A₁A，C₁C的中点，则做与直线A₁D₁，EF，DC都相交的直线仅能做一条

C.．若正四面体的4个顶点恰好在正方体的顶点，则正四面体的体积与正方体的体积之比为1：3

D.正方体的各面所在平面将空间分成27部分

共享时间:2024-05-18 难度:4

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[考点]

棱柱的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积，球的体积和表面积，空间中直线与直线之间的位置关系，

[答案]

ACD

[解析]

解：对A选项，∵棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的内切球半径为

，外接球半径为

，
∴内切球与外接球半径之比为1：

，∴内切球与外接球体积之比为

，∴A选项正确；
对B选项，若E、F分别是A₁A，C₁C的中点，则作与直线A₁D₁，EF，DC都相交的直线不止一条，
例如直线A₁C，DE，∴B选项错误；
对C选项，若正四面体的4个顶点恰好在正方体的顶点，
则正四面体的体积为

＝

，而正方体的体积为1³，
∴正四面体的体积与正方体的体积之比为1：3，∴C选项正确；
对D选项，∵正方体的各面所在平面将空间分成上中下三层，每层分3×3＝9个部分，
∴正方体的各面所在平面将空间分成3×9＝27个部分，∴D选项正确．
故选：ACD．

[点评]

本题考查了"棱柱的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积，球的体积和表面积，空间中直线与直线之间的位置关系，"，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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