如图正四棱台是一块铁料上下底面的边长分别为和分别是上下底面的中心棱台高为求正四棱台的表面积若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台求圆台的体积

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170855. （2025•师大附中•高一下期中）如图，正四棱台ABCD﹣A₁B₁C₁D₁是一块铁料，上、下底面的边长分别为40cm和80cm，O₁，O分别是上、下底面的中心，棱台高为60cm．
（1）求正四棱台ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的表面积；
（2）若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台，求圆台的体积．

共享时间:2025-05-01 难度:1

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[考点]

棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，

[答案]

（1）

；
（2）56000π（cm³）．

[解析]

解：（1）如图所示，正四棱台ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的每个侧面皆为全等的等腰梯形，
分别取B₁C₁，BC的中点为M，N，连接O₁M，ON，MN，
过点M作MH⊥ON于H，
则O₁O＝MH＝60cm，O₁M＝20cm，ON＝40cm，HN＝20cm，
故

，
所以正四棱台ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的表面积为

；
（2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，
则圆台O₁O的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高，
则圆台的上底面半径为20cm，下底面半径为40cm，高为60cm，
则圆台O₁O的体积为

．

[点评]

本题考查了"棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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167762. （2024•西安一中•三模）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA₁＝AB＝2，BC＝3．
（1）求三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的表面积；
（2）求证：AB₁∥平面BC₁D．

共享时间:2024-04-15 难度:2 相似度:1.5

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更新:2025-05-01 03:13浏览量:14