如图在正四棱柱中是的中点求证平面证明求点到平面的距离

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170857. （2025•师大附中•高一下期中）如图，在正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中．AB＝1，AA₁＝2，M是DD₁的中点．
（1）求证：BD₁∥平面AMC；
（2）证明：AC⊥BD₁；
（3）求点D到平面MAC的距离．

共享时间:2025-05-01 难度:3

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相似

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[考点]

直线与平面平行，直线与平面垂直，点、线、面间的距离计算，

[答案]

（1）证明见解答；（2）证明见解答；（3）

．

[解析]

解：（1）证明：设AC∩BD＝O，连接OM，

∵在四棱柱AC₁中，四边形ABCD是正方形，
∴O为BD中点，又M为DD₁中点，∴OM∥BD₁，
又OM⊂面AMC，BD₁⊄面AMC，
∴BD₁∥面AMC；
（2）证明：在四棱柱AC₁中，DD₁⊥面ABCD，
又AC⊂面ABCD，∴DD₁⊥AC，
又在正方形ABCD中，BD⊥AC，
且DD₁⊥AC，DD₁∩BD＝D，DD₁⊂面BDD₁，BD⊂面BDD₁，
∴AC⊥面BDD₁，又BD₁⊂面BDD₁，
∴AC⊥BD₁；
（3）令点D到平面MAC的距离为h，
∴V_D_﹣AMC＝V_M_﹣ADC，
即

，
∵AB＝1，AA₁＝2，M是DD₁的中点，
∴

，

，
即

，
∴

，
解得

．
即点D到平面MAC的距离为

．

[点评]

本题考查了"直线与平面平行，直线与平面垂直，点、线、面间的距离计算，"，属于"难典题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

167716. （2024•西安一中•五模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，PA＝AB＝2CD＝2，∠ADC＝90°，E、F分别为PB、AB的中点．
（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；
（Ⅱ）求点B到平面PCF的距离．

共享时间:2024-05-13 难度:2 相似度:1.67

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167216. （2023•周至四中•高二上一月）如图，在正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，已知AB＝AD＝2，AA₁＝5，E，F分别为DD₁，BB₁上的点，且DE＝B₁F＝1．
（1）求证：BE⊥平面ACF；
（2）求点B到平面ACF的距离．

共享时间:2023-10-15 难度:2 相似度:1.67

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172205. （2023•交大附中•高一下期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝1，CD＝3，AP＝2，

，∠PAD＝60°，AB⊥平面PAD，点M是棱PC上的动点．
（1）证明：AP⊥DM；
（2）设

，求当AP∥平面BDM时λ的值．

共享时间:2023-05-18 难度:2 相似度:1.67

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168918. （2021•高陵一中•二模）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧

所在平面垂直，M是半圆弧上异于C，D的点．
（Ⅰ）证明：直线DM⊥平面BMC；
（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．

共享时间:2021-03-23 难度:2 相似度:1.67

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168619. （2021•西安中学•二模）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧

所在平面垂直，M是半圆弧上异于C，D的点．
（Ⅰ）证明：直线DM⊥平面BMC；
（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．

共享时间:2021-03-17 难度:2 相似度:1.67

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168573. （2021•西安中学•九模）．如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，点C在平面A₁B₁C₁内的射影点为A₁B₁的中点O，且AC：BC：AB：AA₁＝1：1：

：2．
（1）求证：AB⊥平面OCC₁；
（2）若CO＝

，求点C到平面ABO的距离．

共享时间:2021-06-30 难度:2 相似度:1.67

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169739. （2023•师大附中•高二下期末）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2

，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在BC上且

＝2，求点M到平面PAB的距离．

共享时间:2023-07-03 难度:2 相似度:1.67

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169876. （2023•长安区一中•高一下期末）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，E为P在底面ABC内的投影，且E为△ABC的垂心．
（1）若F为C在PAB内的投影，证明：PF⊥AB；
（2）当三棱锥P﹣ABC为正三棱锥且AB＝6，PC与平面ABC所成角为

时，求点C到平面PAB的距离．

共享时间:2023-07-01 难度:2 相似度:1.67

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168126. （2024•西安一中•二模）如图，P是边长为2的正六边形ABCDEF所在平面外一点，BF的中点O为P在平面ABCDEF内的射影．
（1）若PA＝2，求P到平面ABCDEF的距离；
（2）设M为线段PF上一点，且PM＝2MF，证明：ME∥平面PBD．

共享时间:2024-03-17 难度:2 相似度:1.67

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171739. （2024•西安八十三中•高二下期中）如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E为线段BC的中点，AB＝1，AD＝2，AA₁＝

．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面A₁AE；
（Ⅱ）求点A到平面A₁ED的距离．

共享时间:2024-05-17 难度:2 相似度:1.67

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169312. （2025•铁一中学•高二上期末）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AB＝AC＝CD＝2BE＝4，BE∥CD，CD⊥CB，AB⊥AC，平面ABC⊥平面BCDE，O为BC中点．
（1）证明：AO⊥平面BCDE；
（2）求平面ABC与平面ADE夹角的余弦值；
（3）线段AC上是否存在一点Q，使OQ∥平面ADE？如果不存在，请说明理由；如果存在，求