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2023-2024学年陕西省西安三中高二（上）期末数学试卷

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(8小题共40分)

1. （本题5分）双曲线

的一个焦点到一条渐近线的距离等于（　　）

A.．

B.．3

C.．4

D.．2

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2. （本题5分）已知数列{a_n}是等差数列，记数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁₃＝7，则S₂₅＝（　　）

A.350

B.．700

D.．175

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3. （本题5分）下列命题：①y＝ln2，则

；②y＝cosx，则y'＝sinx；③y＝e^2x，则y′＝e^2x；④y＝2sinxcosx，则y'＝2cos2x，其中正确命题的个数为（　　）

A.0

B.．1

C.．2

D.3

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4. （本题5分）已知椭圆E：

的左顶点为A，右焦点为F，若点P在E上，M为AF的中点，PA⊥PF，且|PM|＝b，则E的离心率为（　　）

B.．

D.．

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5. （本题5分）已知点A（2，2），B（﹣2，﹣1），若点A到直线l的距离为1，点B到直线l的距离为4，则满足条件的l有（　　）条

A.1

B.．2

C.．3

D.．4

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6. （本题5分）如图是函数f（x）＝x³+bx²+cx+d的大致图象，则

＝（　　）

C.．

D.．4

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7. （本题5分）已知定义在R上的函数y＝f（x），其导函数y＝f′（x）满足：对任意x∈R都有f（x）＜f′（x），则下列各式恒成立的是（　　）

A.．f（1）＜e•f（0），f（2023）＜e²⁰²³•f（0）

B.f（1）＞e•f（0），f（2023）＞e²⁰²³•f（0）

C.f（1）＞e•f（0），f（2023）＜e²⁰²³•f（0）

D.．f（1）＜e•f（0），f（2023）＞e²⁰²³•f（0）

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8. （本题5分）定义域为R的函数y＝f（x），若对任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），则称函数为“H函数”，现给出如下函数：
①y＝﹣x³+x+1；
②y＝3x﹣2（sinx﹣cosx）；
③y＝e^x+1；
④

．
其中为“H函数”的有（　　）

A.①②

B.．③④

C.．②③

D.．①②③

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二、多选题(4小题共20分)

9. （本题5分）对于直线l₁：ax+2y+3a＝0和直线l₂：3x+（a﹣1）y+3﹣a＝0．以下说法正确的有（　　）

A.直线l₂一定过定点（﹣，1）

B.若l₁⊥l₂，则a＝

C.l₁∥l₂的充要条件是a＝3

D.点P（1，3）到直线l₁的距离的最大值为5

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10. （本题5分）如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AC＝BC＝1，AA₁＝2，D是棱AA₁的中点，DC₁⊥BD．则（　　）

A.直线DC₁与BC所成角为90°

B.三棱锥D﹣BCC₁的体积为

C.二面角A₁﹣BD﹣C₁的大小为60°

D.．直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁外接球的表面积为6π

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11. （本题5分）函数f（x）＝x²e^x在区间

上存在极值点，则整数k的值为（　　）

A.．﹣3

B.﹣2

C.．﹣1

D.0

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12. （本题5分）已知S_n是数列{a_n}的前n项和，S₈＝17S₄．下列结论正确的是（　　）

A.若{a_n}是等差数列，则S₁₂＝48S₄

B.．若{a_n}是等比数列，则S₁₂＝273S₄

C.若{a_n}是等差数列，则公差d＞0

D.．若{a_n}是等比数列，则公比是2或﹣2

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三、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）直线y＝2x+1的一个法向量

＝　　．

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14. （本题5分）已知抛物线C：y²＝4x的焦点为F，准线l与x轴交于点M，点P在抛物线上，直线PF与抛物线交于另一点A，设直线MP，MA的斜率分别为k₁，k₂，则k₁+k₂的值为　　．

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15. （本题5分）设数列{a_n}满足a₁＝2，a₂＝6，且a_n₊₂﹣2a_n₊₁+a_n＝2，若[x]表示不超过x的最大整数，则

＝　．

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16. （本题5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为4cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE、△BCF、△CDG、△DAH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE、△BCF、△CDG、△DAH，使得E，F，G，H重合，得到一个三棱锥，当正方形ABCD的边长为　 cm时，三棱锥体积最大．

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四、解答题(6小题共70分)

17. （本题10分）已知动点P与两个定点A（1，0），B（4，0）的距离的比是2．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）直线l过点（2，1），且被曲线C截得的弦长为

，求直线l的方程．

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18. （本题12分）已知曲线f（x）＝x³﹣x，
求（1）曲线在点（﹣1，0）处的切线方程；
（2）曲线过点（﹣1，0）的切线方程；
（3）曲线平行于直线11x﹣y+1＝0的切线方程．

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19. （本题12分）如图，BC是⊙O的直径，BC＝2，点A是

上的一个动点，过点A作PA垂直⊙O所在的平面，且PA＝1．
（1）当三棱锥O﹣PAC体积最大时，求直线PO与平面PAC所成角的大小；
（2）当点A是

上靠近点C的三等分点时，求二面角A﹣PO﹣B的正弦值．

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20. （本题12分）已知椭圆C：

（a＞b＞0）的离心率为

，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线y＝k（x﹣1）（k＞0）与椭圆C相交于A、B两点，且与x轴，y轴交于M、N两点．
（i）若

＝

，求k的值；
（ii）若点Q的坐标为（

），求证：

为定值．

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21. （本题12分）各项都为整数的数列{a_n}满足a₂＝﹣2，a₇＝4，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出所有的正整数m，使得a_m+am₊₁+am₊₂＝a_mam₊₁am₊₁．

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22. （本题12分）已知函数

，其中a＞0．
（1）判断函数f（x）的单调性；
（2）若g（x）＝xf（x），且当ax₂＜x₁＜x₂时，g（x₁）＝g（x₂），证明：

．

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dygzsxyn

2024-02-04

高中数学 | 考试 | 难度:1.64

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