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169419. (2024•西安中学•高三上期末) 已知gx)=ax+1).
(1)求曲线yfx)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)当a>0时,若关于x的方程fx)+gx)=0存在两个正实数根x1x2x1x2),证明:ae2x1x2x1+x2
共享时间:2024-02-27 难度:3
[考点]
函数的零点与方程根的关系,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程,
[答案]
见试题解答内容
[解析]
(1)解:∵,∴f(0)=1,f'(0)=3,
∴曲线yfx)在点(0,f(0))处的切线方程为3xy+1=0.
(2)证明:由fx)+gx)=0存在两个正实数根x1x2x1x2),
整理exax﹣1)(x≠1)得方程存在两个正实数根x1x2x1x2).
a>0,知x2x1>1,
hx)=exax+a,则h'(x)=exa
xlna时,h'(x)>0,hx)在(lna,+∞)上单调递增;
xlna时,h'(x)<0,hx)在(0,lna)上单调递减.
所以hxminhlna)=2aalna
因为hx)=exax+a有两个零点,即2aalna<0,得ae2
因为实数x1x2exax﹣1)的两个根,
从而
令α=x1﹣1,β=x2﹣1,则,变形整理得
要证x1x2x1+x2,则只需证αβ<1,即只要证(0<α<1<β),
结合对数函数ylnx的图象可知,
只需要证(α,lnα),两点连线的斜率要比(α,lnα),(β,lnβ)两点连线的斜率小即可.
因为,所以只要证
整理得(0<α<1).
(0<x<1),则
所以gx)在(0,1)上单调递减,即gx)>g(1)=0,
所以(0<α<1)成立,故x1x2x1+x2成立.
[点评]
本题考查了"函数的零点与方程根的关系,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程,",属于"典型题",熟悉题型是解题的关键。
转载声明:
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171369. (2023•西安中学•高三上期中) 已知函数fx)=exx2+2ax
(1)若a=1,求曲线yfx)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若fx)在R上单调递增,求实数a的取值范围.
共享时间:2023-11-22 难度:2 相似度:1.67
168781. (2021•西安中学•八模) 已知函数fx)=ex﹣(x+mlnx+m)+xm≤2.
(1)当m=1时,求函数在x=0处的切线方程;
(2)证明:函数fx)为单调递增函数.
共享时间:2021-06-19 难度:2 相似度:1.67
168712. (2021•西安中学•仿真) 已知函数
(Ⅰ)当a=1,求函数yfx)的图象在x=0处的切线方程;
(Ⅱ)若函数fx)在(0,1)上单调递增,求实数a的取值范围.
共享时间:2021-06-05 难度:2 相似度:1.67
168575. (2021•西安中学•九模) 设函数
(1)当a=1时,求曲线yfx)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数yfx)在其定义域内为增函数,求实数a的取值范围.
共享时间:2021-06-30 难度:2 相似度:1.67
170420. (2022•长安区一中•高二上期末) 已知函数x=0处的切线与x轴平行.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)判断在(0,π)上零点的个数,并说明理由.
共享时间:2022-02-04 难度:2 相似度:1.67
169481. (2024•西工大附中•高二上期末) 已知函数fx)=lnx+x2
(1)求曲线yfx)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数hx)=fx)﹣3x的单调区间.
共享时间:2024-02-02 难度:2 相似度:1.67
167944. (2023•师大附中•三模) 已知函数
(1)设gx)=xfx),求gx)的单调区间;
(2)求证:存在恰有2个切点的曲线yfx)的切线.
共享时间:2023-04-08 难度:2 相似度:1.67
167787. (2024•西安一中•三模) 已知函数fx)=x2+3x+3,gx)=2ex+1x﹣2.
(1)判断gx)的零点个数;
(2)求曲线yfx)与曲线ygx)公切线的条数.
共享时间:2024-04-07 难度:2 相似度:1.67
167740. (2024•西安一中•四模) 已知函数fx)=3lnxx2+x
(1)求fx)的单调区间;
(2)若过点(2,1)作直线与函数的图象相切,判断切线的条数.
共享时间:2024-04-26 难度:2 相似度:1.67
171329. (2023•西安中学•高三上期中) 已知函数fx)=(x2﹣2x+aex
(1)讨论函数fx)的单调性;
(2)当a=1时,判断函数gx)=fx)﹣x2+lnx零点的个数,并说明理由.
共享时间:2023-11-28 难度:2 相似度:1.67
19752. (2021•陕西省•乙卷) 已知函数fx)=x3x2+ax+1.
(1)讨论fx)的单调性;
(2)求曲线yfx)过坐标原点的切线与曲线yfx)的公共点的坐标.
共享时间:2021-06-21 难度:4 相似度:1.67
167103. (2023•西安中学•高三上二月) 已知函数fx)=exx2+2ax
(1)若a=1,求曲线yfx)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若fx)在R上单调递增,求实数a的取值范围.
共享时间:2023-12-24 难度:2 相似度:1.67
166310. (2024•西安中学•高三上二月) 已知函数fx)=x2+mx+6lnxm∈R).
(1)若曲线yfx)在点(1,f(1))处的切线与直线y=2x﹣1平行,求m的值,并求函数fx)的单调区间;
(2)若函数fx)在定义域上单调递增,求m的取值范围.
共享时间:2024-12-28 难度:2 相似度:1.67
168736. (2021•西安中学•仿真) 已知函数fx)=
(1)当a=1,求函数yfx)的图象在x=0处的切线方程;
(2)若函数fx)在(0,1)上单调递增,求实数a的取值范围;
(3)已知xyz均为正实数,且x+y+z=1,求证:++≤0.
共享时间:2021-06-10 难度:3 相似度:1.34
171264. (2024•师大附中•高二下期中) 设函数fx)=ax(2+cosx)﹣sinxf′(x)是函数fx)的导函数.
(1)求曲线yfx)在点(0,0)处的切线方程;
(2)若a=1,试判断f′(x)在区间上的零点的个数;
(3)若在x∈(0,+∞)上fx)>0恒成立,求a的取值范围.
共享时间:2024-05-17 难度:3 相似度:1.34

dygzsxyn

2024-02-27

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2020*西工大*期末
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