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首页 > 试题列表 > 单题解析
169419. （2024•西安中学•高三上期末） 已知，g（x）＝a（x+1）．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当a＞0时，若关于x的方程f（x）+g（x）＝0存在两个正实数根x1，x2（x1＜x2），证明：a＞e2且x1x2＜x1+x2．
共享时间:2024-02-27 难度:3
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[考点]
函数的零点与方程根的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程，
[答案]
见试题解答内容
[解析]
（1）解：∵，∴f（0）＝1，f'（0）＝3，
∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为3x﹣y+1＝0．
（2）证明：由f（x）+g（x）＝0存在两个正实数根x1，x2（x1＜x2），
整理ex＝a（x﹣1）（x≠1）得方程存在两个正实数根x1，x2（x1＜x2）．
由a＞0，知x2＞x1＞1，
令h（x）＝ex﹣ax+a，则h'（x）＝ex﹣a，
当x＞lna时，h'（x）＞0，h（x）在（lna，+∞）上单调递增；
当x＜lna时，h'（x）＜0，h（x）在（0，lna）上单调递减．
所以h（x）min＝h（lna）＝2a﹣alna．
因为h（x）＝ex﹣ax+a有两个零点，即2a﹣alna＜0，得a＞e2．
因为实数x1，x2是ex＝a（x﹣1）的两个根，
从而．
令α＝x1﹣1，β＝x2﹣1，则，变形整理得．
要证x1x2＜x1+x2，则只需证αβ＜1，即只要证（0＜α＜1＜β），
结合对数函数y＝lnx的图象可知，
只需要证（α，lnα），两点连线的斜率要比（α，lnα），（β，lnβ）两点连线的斜率小即可．
因为，所以只要证，
整理得（0＜α＜1）．
令（0＜x＜1），则，
所以g（x）在（0，1）上单调递减，即g（x）＞g（1）＝0，
所以（0＜α＜1）成立，故x1x2＜x1+x2成立．
[点评]
本题考查了"函数的零点与方程根的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程，"，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键。
转载声明：
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171369. （2023•西安中学•高三上期中） 已知函数f（x）＝ex﹣x2+2ax．
（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围．
共享时间:2023-11-22 难度:2 相似度:1.67
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168781. （2021•西安中学•八模） 已知函数f（x）＝ex﹣（x+m）ln（x+m）+x，m≤2．
（1）当m＝1时，求函数在x＝0处的切线方程；
（2）证明：函数f（x）为单调递增函数．
共享时间:2021-06-19 难度:2 相似度:1.67
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168712. （2021•西安中学•仿真） 已知函数．
（Ⅰ）当a＝1，求函数y＝f（x）的图象在x＝0处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围．
共享时间:2021-06-05 难度:2 相似度:1.67
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168575. （2021•西安中学•九模） 设函数．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数y＝f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围．
共享时间:2021-06-30 难度:2 相似度:1.67
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170420. （2022•长安区一中•高二上期末） 已知函数在x＝0处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）判断在（0，π）上零点的个数，并说明理由．
共享时间:2022-02-04 难度:2 相似度:1.67
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169481. （2024•西工大附中•高二上期末） 已知函数f（x）＝lnx+x2．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数h（x）＝f（x）﹣3x的单调区间．
共享时间:2024-02-02 难度:2 相似度:1.67
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167944. （2023•师大附中•三模） 已知函数．
（1）设g（x）＝xf（x），求g（x）的单调区间；
（2）求证：存在恰有2个切点的曲线y＝f（x）的切线．
共享时间:2023-04-08 难度:2 相似度:1.67
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167787. （2024•西安一中•三模） 已知函数f（x）＝x2+3x+3，g（x）＝2ex+1﹣x﹣2．
（1）判断g（x）的零点个数；
（2）求曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）公切线的条数．
共享时间:2024-04-07 难度:2 相似度:1.67
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167740. （2024•西安一中•四模） 已知函数f（x）＝3lnx﹣x2+x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若过点（2，1）作直线与函数的图象相切，判断切线的条数．
共享时间:2024-04-26 难度:2 相似度:1.67
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171329. （2023•西安中学•高三上期中） 已知函数f（x）＝（x2﹣2x+a）ex．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＝1时，判断函数g（x）＝f（x）﹣x2+lnx零点的个数，并说明理由．
共享时间:2023-11-28 难度:2 相似度:1.67
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19752. （2021•陕西省•乙卷） 已知函数f（x）＝x3﹣x2+ax+1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标．
共享时间:2021-06-21 难度:4 相似度:1.67
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167103. （2023•西安中学•高三上二月） 已知函数f（x）＝ex﹣x2+2ax．
（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围．
共享时间:2023-12-24 难度:2 相似度:1.67
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166310. （2024•西安中学•高三上二月） 已知函数f（x）＝x2+mx+6lnx（m∈R）．
（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y＝2x﹣1平行，求m的值，并求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在定义域上单调递增，求m的取值范围．
共享时间:2024-12-28 难度:2 相似度:1.67
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168736. （2021•西安中学•仿真） 已知函数f（x）＝．
（1）当a＝1，求函数y＝f（x）的图象在x＝0处的切线方程；
（2）若函数f（x）在（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）已知x，y，z均为正实数，且x+y+z＝1，求证：++≤0．
共享时间:2021-06-10 难度:3 相似度:1.34
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171264. （2024•师大附中•高二下期中） 设函数f（x）＝ax（2+cosx）﹣sinx，f′（x）是函数f（x）的导函数．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程；
（2）若a＝1，试判断f′（x）在区间上的零点的个数；
（3）若在x∈（0，+∞）上f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
共享时间:2024-05-17 难度:3 相似度:1.34
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dygzsxyn

2024-02-27

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