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169419. (2024•西安中学•高三上期末) 已知gx)=ax+1).
(1)求曲线yfx)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)当a>0时,若关于x的方程fx)+gx)=0存在两个正实数根x1x2x1x2),证明:ae2x1x2x1+x2
共享时间:2024-02-27 难度:3
[考点]
函数的零点与方程根的关系,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程,
[答案]
见试题解答内容
[解析]
(1)解:∵,∴f(0)=1,f'(0)=3,
∴曲线yfx)在点(0,f(0))处的切线方程为3xy+1=0.
(2)证明:由fx)+gx)=0存在两个正实数根x1x2x1x2),
整理exax﹣1)(x≠1)得方程存在两个正实数根x1x2x1x2).
a>0,知x2x1>1,
hx)=exax+a,则h'(x)=exa
xlna时,h'(x)>0,hx)在(lna,+∞)上单调递增;
xlna时,h'(x)<0,hx)在(0,lna)上单调递减.
所以hxminhlna)=2aalna
因为hx)=exax+a有两个零点,即2aalna<0,得ae2
因为实数x1x2exax﹣1)的两个根,
从而
令α=x1﹣1,β=x2﹣1,则,变形整理得
要证x1x2x1+x2,则只需证αβ<1,即只要证(0<α<1<β),
结合对数函数ylnx的图象可知,
只需要证(α,lnα),两点连线的斜率要比(α,lnα),(β,lnβ)两点连线的斜率小即可.
因为,所以只要证
整理得(0<α<1).
(0<x<1),则
所以gx)在(0,1)上单调递减,即gx)>g(1)=0,
所以(0<α<1)成立,故x1x2x1+x2成立.
[点评]
本题考查了"函数的零点与方程根的关系,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程,",属于"典型题",熟悉题型是解题的关键。
转载声明:
本题解析属于发布者收集录入,如涉及版权请向平台申诉! !版权申诉
19752. (2021•陕西省•乙卷) 已知函数fx)=x3x2+ax+1.
(1)讨论fx)的单调性;
(2)求曲线yfx)过坐标原点的切线与曲线yfx)的公共点的坐标.
共享时间:2021-06-21 难度:4 相似度:1.67
167740. (2024•西安一中•四模) 已知函数fx)=3lnxx2+x
(1)求fx)的单调区间;
(2)若过点(2,1)作直线与函数的图象相切,判断切线的条数.
共享时间:2024-04-26 难度:2 相似度:1.67
166310. (2024•西安中学•高三上二月) 已知函数fx)=x2+mx+6lnxm∈R).
(1)若曲线yfx)在点(1,f(1))处的切线与直线y=2x﹣1平行,求m的值,并求函数fx)的单调区间;
(2)若函数fx)在定义域上单调递增,求m的取值范围.
共享时间:2024-12-28 难度:2 相似度:1.67
168712. (2021•西安中学•仿真) 已知函数
(Ⅰ)当a=1,求函数yfx)的图象在x=0处的切线方程;
(Ⅱ)若函数fx)在(0,1)上单调递增,求实数a的取值范围.
共享时间:2021-06-05 难度:2 相似度:1.67
168575. (2021•西安中学•九模) 设函数
(1)当a=1时,求曲线yfx)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数yfx)在其定义域内为增函数,求实数a的取值范围.
共享时间:2021-06-30 难度:2 相似度:1.67
167944. (2023•师大附中•三模) 已知函数
(1)设gx)=xfx),求gx)的单调区间;
(2)求证:存在恰有2个切点的曲线yfx)的切线.
共享时间:2023-04-08 难度:2 相似度:1.67
167787. (2024•西安一中•三模) 已知函数fx)=x2+3x+3,gx)=2ex+1x﹣2.
(1)判断gx)的零点个数;
(2)求曲线yfx)与曲线ygx)公切线的条数.
共享时间:2024-04-07 难度:2 相似度:1.67
167103. (2023•西安中学•高三上二月) 已知函数fx)=exx2+2ax
(1)若a=1,求曲线yfx)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若fx)在R上单调递增,求实数a的取值范围.
共享时间:2023-12-24 难度:2 相似度:1.67
168736. (2021•西安中学•仿真) 已知函数fx)=
(1)当a=1,求函数yfx)的图象在x=0处的切线方程;
(2)若函数fx)在(0,1)上单调递增,求实数a的取值范围;
(3)已知xyz均为正实数,且x+y+z=1,求证:++≤0.
共享时间:2021-06-10 难度:3 相似度:1.34
168621. (2021•西安中学•二模) 已知函数fx)=exx∈R.
(Ⅰ)若直线ykx﹣1)与fx)的图像相切,求实数k的值;
(Ⅱ)设x>0,若曲线yfx)与ymx2m>0)有且只有一个公共点,求实数m的值;
(Ⅲ)设ab,比较的大小,并说明理由.
共享时间:2021-03-17 难度:1 相似度:1.33
166237. (2024•师大附中•高一上二月) 已知函数fx)=|xa|﹣+aa∈R).
(1)若a=1,求关于x的方程fx)=1的解;
(2)若关于x的方程fx)=有三个不同的正实数根x1x2x3x1x2x3
i)求a的取值范围;
ii)证明:x1x2x3>3.
共享时间:2024-12-16 难度:1 相似度:1.33
168759. (2021•西安中学•八模) 已知函数gx)是fx)的导函数.
(1)若gx)在(0,+∞)上单调递增,求m的取值范围;
(2)设Fx)=gx)﹣fx),证明:当时,Fx)有且仅有两个零点.
共享时间:2021-06-14 难度:1 相似度:1.33
166759. (2024•建大附中•一模) 若函数fx)在[ab]上存在x1x2ax1x2b),使得f'(x2)=,则称fx)是[ab]上的“双中值函数”,其中x1x2称为fx)在[ab]上的中值点.
(1)判断函数fx)=x3﹣3x2+1是否是[﹣1,3]上的“双中值函数”,并说明理由.
(2)已知函数,存在mn>0,使得fm)=fn),且fx)是[nm]上的“双中值函数”,x1x2fx)在[nm]上的中值点.
①求a的取值范围;
②证明:x1+x2a+2.
共享时间:2024-03-13 难度:1 相似度:1.33
166446. (2024•西工大附中•高三上二月) .已知函数fx)=x3x
(1)求曲线yfx)在点M(1,0)处的切线方程;
(2)如果过点(1,b)可作曲线yfx)的三条切线,求实数b的取值范围.
共享时间:2024-12-24 难度:1 相似度:1.33
168391. (2023•交大附中•十三模) 已知函数fx)=2xalnx
(1)当a=1时,求函数yfx)的单调区间;
(2)若函数fx)≥(a+2)xxex恒成立,求实数a的取值范围.
共享时间:2023-07-21 难度:2 相似度:0.83

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2024-02-27

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2020*西工大*期末
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