如图所示在四棱锥中四边形为梯形平面平面若的中点为求证平面求二面角的正弦值

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169418. （2024•西安中学•高三上期末）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为梯形，CD∥AB，AB⊥BC，PA⊥PD，BC＝CD＝PA＝PD＝1，AB＝2，平面PAD⊥平面PBC．
（1）若PB的中点为N，求证：CN∥平面PAD；
（2）求二面角P﹣AD﹣B的正弦值．

共享时间:2024-02-27 难度:2

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[考点]

直线与平面平行，二面角的平面角及求法，

[答案]

（1）证明见解答；
（2）

．

[解析]

解：（1）证明：设T是PA中点，连接TN、TD，

在△ABP中，TN为中线，∴TN∥AB且TN＝

AB，又∵CD∥AB且CD＝

AB，
∴TN∥CD且TN＝CD，∴四边形CDTN为平行四边形，∴CN∥DT且CN＝DT．
又∵CN⊄平面PAD，DT⊂平面PAD，∴CN∥平面PAD
（2）如图以AD中点作为坐标原点，建立空间直角坐标系，
设二面角角P﹣AD﹣B的大小为θ，则

，

设平面PAD的法向量为

，
∴

，
令y₁＝sinθ，z₁＝﹣cosθ，所以

．
设平面PBC的法向量为

，
∴

，
令y₂＝1，则

，所以

．
∵平面PAD⊥平面PBC，所以

，∴

．

[点评]

本题考查了"直线与平面平行，二面角的平面角及求法，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

168342. （2022•长安区一中•三模）已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，点O为棱AB的中点．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面A₁CO；
（Ⅱ）若△ABC是等边三角形，且AB＝AA₁，∠A₁AB＝60°，平面AA₁B₁B⊥平面ABC，求二面角A﹣A₁C﹣B的余弦值．

共享时间:2022-04-07 难度:2 相似度:2

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167302. （2023•长安区一中•高三上四月）如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，D、E分别是AB、BB₁的中点，AA₁＝AC＝CB＝

AB＝2．
（1）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（2）求二面角D﹣A₁C﹣E的正弦值．

共享时间:2023-02-23 难度:2 相似度:2

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168895. （2021•高新一中•二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，点P在AB上，PE∥BC交AC于E，PF∥AC交BC于F．沿PE将△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF将△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．
（Ⅰ）求证：B′C∥平面A′PE．
（Ⅱ）设

，当λ为何值时，二面角C﹣A′B′﹣P的大小为60°？

共享时间:2021-03-23 难度:2 相似度:2

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166388. （2024•长安区一中•高二上二月）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁是矩形，AC⊥AB，AB＝AA₁＝2，AC＝3，∠A₁AB＝120°，E，F分别为棱A₁B₁，BC的中点，G为线段CF的中点．
（1）证明：A₁G∥平面AEF；
（2）求二面角A﹣EF﹣B的余弦值．

共享时间:2024-12-18 难度:2 相似度:2

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169100. （2020•西工大附中•三模）如图，在四棱锥B﹣ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，△ABC是一个边长为4的正三角形，在直角梯形ACDE中，AE∥CD，AE⊥AC，AE＝2，CD＝3，点P在棱BD上，且BP＝2PD．
（1）求证：EP∥平面ABC；
（2）设点M在线段AC上，若平面PEM与平面EAB所成的锐二面角的余弦值为