在三棱锥中底面为直角三角形平面证明若为的中点且求点到平面的距离

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169350. （2024•师大附中•高一下期末）在三棱锥P﹣ABCD中，底面ABC为直角三角形，AB＝BC，PA⊥平面ABC．
（1）证明：BC⊥PB；
（2）若D为AC的中点，且PA＝2AB＝4，求点D到平面PBC的距离．

共享时间:2024-07-09 难度:2

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[考点]

空间中直线与直线之间的位置关系，点、线、面间的距离计算，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

证明：（1）∵底面ABC为直角三角形，AB＝BC，
∴BC⊥AB，
∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA，
∵AB∩PA＝A，∴BC⊥PB．
解：（2）以A为原点，过A作BC的平行线为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，4），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，1，0），

＝（1，﹣1，0），

＝（0，﹣2，4），

＝（2，0，0），
设平面PBC的法向量

＝（x，y，z），
则

，取y＝2，得

＝（0，2，1），
∴点D到平面PBC的距离d＝

＝

．

[点评]

本题考查了"空间中直线与直线之间的位置关系，点、线、面间的距离计算，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

167127. （2023•西安中学•高二上一月）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA₁＝1，M为线段A₁C₁上一点．
（1）求证：BM⊥AB₁；
（2）若直线AB₁与平面BCM所成角为

，求点A₁到平面BCM的距离．

共享时间:2023-10-30 难度:1 相似度:1.5

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167563. （2023•关山中学•高二上一月）已知A（3，3，1），B（1，0，5），求：
（1）线段AB的中点坐标和线段AB长度；
（2）到A，B两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标x，y，z满足的条件．

共享时间:2023-10-16 难度:1 相似度:1.5

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168227. （2021•西安中学•四模）如图，直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB₁，A₁D的中点．
（1）证明：MN∥平面C₁DE；
（2）求点C到平面C₁DE的距离．

共享时间:2021-04-28 难度:1 相似度:1.5

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168274. （2021•西安中学•五模）在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，AC与BD相交于点M，点N在线段AP上，AN＝λAP（λ＞0），且MN∥平面PCD．
（1）求实数λ的值；
（2）若

，∠BAD＝60°，求点N到平面PCD的距离．

共享时间:2021-05-15 难度:1 相似度:1.5

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169719. （2023•师大附中•高一下期末）如图．在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠DAB＝60°，PA⊥PD，且PA＝PD＝

，AB＝2CD＝2．
（1）证明：AD⊥PB．
（2）求点A到平面PBC的距离．

共享时间:2023-07-17 难度:1 相似度:1.5

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166431. （2024•西光中学•高二上一月）如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的体积为4，△A₁BC的面积为

．
（1）求A到平面A₁BC的距离；
（2）设D为A₁C的中点，AA₁＝AB，平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．

共享时间:2024-10-12 难度:2 相似度:1

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171437. （2024•长安区一中•高二下期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，△PCD是正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，AC＝PC，AC⊥PC．
（Ⅰ）求证：AC⊥PD；
（Ⅱ）若M是PB的中点，求直线MD与平面ACP所成角的正弦值．

共享时间:2024-05-30 难度:2 相似度:1

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170953. （2024•西工大附中•高二上期中）已知直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC₁的中点，D为棱A₁B₁上的点，BF⊥A₁B₁．
（1）证明：BA⊥BC．
（2）当B₁D为何值时，面BB₁C₁C与面DFE所成的二面角的余弦值最大？

共享时间:2024-11-30 难度:2 相似度:1

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170728. （2020•西安中学•高一上期末）如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M，N，P分别是棱AB，A₁D₁，AD的中点，求证：
（Ⅰ）平面MNP∥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）MN⊥AC．

共享时间:2020-02-05 难度:2 相似度:1

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170418. （2022•长安区一中•高二上期末）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝3，PC＝CD＝2AD，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．
（Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）求点B到平面PDE的距离．

共享时间:2022-02-04 难度:2 相似度:1

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170368. （2022•长安区一中•高二下期末）如图1，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝2，E是AD中点，将△CDE沿直线CE翻折到△CPE的位置，使得

，如图2．
（1）求证：平面PCE⊥平面ABCE；
（2）求C到平面PBE的距离．

共享时间:2022-07-05 难度:2 相似度:1

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169876. （2023•长安区一中•高一下期末）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，E为P在底面ABC内的投影，且E为△ABC的垂心．
（1）若F为C在PAB内的投影，证明：PF⊥AB；
（2）当三棱锥P﹣ABC为正三棱锥且AB＝6，PC与平面ABC所成角为

时，求点C到平面PAB的距离．

共享时间:2023-07-01 难度:2 相似度:1

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169739. （2023•师大附中•高二下期末）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2

，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在BC上且

＝2，求点M到平面PAB的距离．

共享时间:2023-07-03 难度:2 相似度:1

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169612. （2024•滨河中学•高一下期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，|AB|＝2，|BC|＝|CD|＝1，AB∥CD，∠ABC＝90°，∠APB＝90°，|PA|＝|PB|．
（1）求点D到平面PAC的距离；
（2）求二面角A﹣BD﹣P的正切值．