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2023-2024学年陕西省西安市雁塔二中高二（上）第一次段考数学试卷

试卷总分:120分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共48分)

1. （本题4分）若向量

＝（1，2，﹣2），

＝（﹣2，﹣4，4），则向量

与

（　　）

A.相交

B.垂直

C.平行

D.以上都不对

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2. （本题4分）若向量

，

，则（　　）

A.	B.
C.．	D.

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3. （本题4分）若直线l₁的倾斜角为45°，直线l₂经过点P（﹣2，﹣1），Q（3，﹣6），则直线l₁与l₂的位置关系是（　　）

A.垂直

B.．平行

C.重合

D.平行或重合

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4. （本题4分）已知圆C方程为：（x﹣2）²+（y﹣1）²＝9，直线a的方程为3x﹣4y﹣12＝0，在圆C上到直线a的距离为1的点有（　　）个．

A.4

B.．3

C.．2

D.1

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5. （本题4分）已知A（2，﹣3），B（2，1），若直线l经过点P（0，﹣1），且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（　　）

A.（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）	B.[﹣2，2]
C.（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）	D.[﹣1，1]

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6. （本题4分）已知点P是圆

上的点，点Q是直线x﹣y＝0上的点，点R是直线l：12x﹣5y+24＝0上的点，则|PQ|+|QR|的最小值为（　　）

A.7

B.．

C.．6

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7. （本题4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，∠BAD＝120°，PA＝AB，点M是BC的中点，点N是PD上不与端点重合的动点，则异面直线AM与CN所成角的正切值最小为（　　）

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8. （本题4分）过点（2，﹣1）引直线l与曲线

相交于A、B两点，则直线l的斜率取值范围是（　　）

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9. （本题4分）已知二面角α﹣l﹣β的两个半平面α与β的法向量分别为

，

，若＜

，

＞＝

，则二面角α﹣l﹣β的大小为（　　）

C.．

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10. （本题4分）已加点P是圆O：x²+y²＝9上的一点．直线l₁：xcosθ+ysinθ＝3与直线l₂：xsinθ﹣ycosθ＝2交于点M．则下列说法正确的是（　　）

A.l₁⊥l₂

B.直线l₁与圆O相切

C.直线l₂被圆O截得的弦长为

D.．|PM|的最小值为

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11. （本题4分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知圆O半径为3，直线l₁、l₂互相垂直，垂足为M（1，2），且l₁与圆O相交于A、C两点，l₂与圆O交于B、D两点，则四边形ABCD面积的值可以为（　　）

A.．11

B.．12

C.13

D.．14

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12. （本题4分）已知点P在直线l：x﹣y﹣3＝0上，过点P作圆M：（x+1）²+y²＝2的两条切线，切点分别为A，B，则（　　）

A.存在点P，使得四边形PAMB为菱形

B.四边形PAMB的面积最小值为

C.△PAB的外接圆恒过两个定点

D.原点到直线AB的距离不超过

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二、填空题(4小题共16分)

13. （本题4分）已知点（0，2）是点（﹣2，b）与点（2，4）的对称中心，则b＝　．

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14. （本题4分）点

在圆x²+y²﹣2y+m²﹣m﹣1＝0外，则实数m的取值范围是　　

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15. （本题4分）过直线x﹣y﹣m＝0上动点P作圆M：（x﹣2）+（y﹣3）²＝1的一条切线，切点为A，若使得|PA|＝1的点P有两个，则实数m的取值范围为　　．

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16. （本题4分）若圆x²+y²＝r²（r＞0）上恰有四个点到直线x﹣y﹣2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是　　．

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三、解答题(6小题共56分)

17. （本题9分）在平面直角坐标系中，已知M₁（﹣3，0），M₂（3，0），动点M（x，y）满足

记M的轨迹为C．
（1）求C的方程：
（2）设直线l与C相交于A、B两点，且AB的中点N（6，﹣2），求S_△OAB（O为坐标原点）．

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18. （本题9分）椭圆E与

有共同的焦点，且经过点

．
（1）求椭圆E的标准方程和离心率；
（2）设F为E的左焦点，M为椭圆E上任意一点，求

的最大值．

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19. （本题9分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PB＝PD＝3

，PA＝AD＝3，点E，F分别为线段PD，BC的中点．
（1）求证：EF∥平面ABP；
（2）求证：平面AEF⊥平面PCD；
（3）求三棱锥C﹣AEF的体积．

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20. （本题9分）已知圆C的圆心在直线y＝﹣2x上，且与直线y＝1﹣x相切于点（2，﹣1）．
（1）求圆C的方程；
（2）是否存在斜率为1的直线l与圆x²+y²﹣2x+4y﹣4＝0交于A、B两点，使以AB为直径的圆过点原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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21. （本题10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝

，点E是棱PB的中点．
（1）求直线AD与平面PBC的距离；
（2）若AD＝

，求二面角A﹣EC﹣D的平面角的余弦值．

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22. （本题10分）已知M为圆C：x²+y²﹣4x﹣14y+45＝0上任意一点，且Q（﹣2，3）．
（1）求|MQ|的最大值和最小值；
（2）若M（m，n），求2m+3n+1的最大值和最小值；
（3）若M（m，n），求m²+n²+4m﹣6n的最大值和最小值．

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2023-10-26

高中数学 | 段考 | 难度:1.45

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