已知圆的圆心在直线上且与直线相切于点求圆的方程是否存在斜率为的直线与圆交于两点使以为直径的圆过点原点若存在求出直线的方程若不存在请说明理由

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167431. （2023•雁塔二中•高二上一月）已知圆C的圆心在直线y＝﹣2x上，且与直线y＝1﹣x相切于点（2，﹣1）．
（1）求圆C的方程；
（2）是否存在斜率为1的直线l与圆x²+y²﹣2x+4y﹣4＝0交于A、B两点，使以AB为直径的圆过点原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

共享时间:2023-10-26 难度:1

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[考点]

直线与圆相交的性质，

[答案]

（1）（x﹣1）²+（y+2）²＝2；

（2）存在直线l，其方程为x﹣y+1＝0或x﹣y﹣4＝0．

[解析]

解：（1）由题意设圆心的坐标为C（a，﹣2a），
∵圆C经过点A（2，﹣1），与直线y＝1﹣x相切，
∴

，化简得a²﹣2a+1＝0，解得a＝1，
∴圆心C（1，﹣2），半径

，
∴圆C的方程为（x﹣1）²+（y+2）²＝2；
（2）假设存在l与圆x²+y²﹣2x+4y﹣4＝0交于A、B两点，使以AB为直径的圆过点原点，
设直线l方程为y＝x+b，联立

，
可得2x²+2（b+1）x+b²+4（b﹣1）＝0，需满足Δ＝﹣4（b²+6b﹣9）＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

，
因为以AB为直径的圆过点原点，故

，即x₁x₂+y₁y₂＝0，
所以x₁x₂+（x₁+b）（x₂+b）＝0，即

，
所以b²+4（b﹣1）+b（﹣b﹣1）+b²＝0，解得b＝1或b＝﹣4，
经验证，满足 Δ＝﹣4（b²+6b﹣9）＞0，
故存在直线l的方程为x﹣y+1＝0或x﹣y﹣4＝0满足题意．

[点评]

本题考查了"直线与圆相交的性质，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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共享时间:2024-10-30 难度:1 相似度:2

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共享时间:2024-10-27 难度:1 相似度:2

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dygzsxyn

2023-10-26

高中数学 | 高二上 | 解答题

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