已知为圆上任意一点且求的最大值和最小值若求的最大值和最小值若求的最大值和最小值

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167433. （2023•雁塔二中•高二上一月）已知M为圆C：x²+y²﹣4x﹣14y+45＝0上任意一点，且Q（﹣2，3）．
（1）求|MQ|的最大值和最小值；
（2）若M（m，n），求2m+3n+1的最大值和最小值；
（3）若M（m，n），求m²+n²+4m﹣6n的最大值和最小值．

共享时间:2023-10-26 难度:2

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[考点]

两点间的距离公式，点与圆的位置关系，

[答案]

（1）最大值为

，最小值为

；
（2）最大值为

，最小值为

；
（3）最大值为59，最小值为﹣5．

[解析]

解：（1）因为4+9﹣4×（﹣2）﹣14×3+45＝24＞0，即Q在圆C外，
圆C：（x﹣2）²+（y﹣7）²＝8的圆心C（2，7），半径

，

，
因为|QC|﹣R≤|MQ|≤|QC|+R，即

，
所以|MQ|的最大值为

，最小值为

；
（2）圆C：（x﹣2）²+（y﹣7）²＝8的圆心C（2，7），半径

，
令t＝2m+3n+1可得2m+3n+1﹣t＝0，即圆和直线2m+3n+1﹣t＝0总有公共点求t的最大值和最小值，
即

，解得

，
所以2m+3n+1的最大值为

，最小值为

；
（3）m²+n²+4m﹣6n＝（m+2）²+（n﹣3）²﹣13，
令t²＝（m+2）²+（n﹣3）²，
当m+2＝0，n﹣3＝0即m＝﹣2，n＝3时（﹣2﹣2）²+（3﹣7）²＝32＞0，
此时点（﹣2，3）在圆外，所以t＞0，求m²+n²+4m﹣6n的最大值和最小值转化为：
求圆（m+2）²+（n﹣3）²＝t²与圆C：（m﹣2）²+（m﹣7）²＝8总有公共点求t²﹣13的最大值和最小值，
而两圆心的距离为

，
当两圆外切时

，解得

，此时t²﹣13＝8﹣13＝﹣5，
当两圆内切时，两圆心的距离

，所以只能圆C在圆（m+2）²+（n﹣3）²＝t²的内部，
所以

，解得

，此时t²﹣13＝72﹣13＝59，
所以m²+n²+4m﹣6n的最大值为59，最小值为﹣5．

[点评]

本题考查了"两点间的距离公式，点与圆的位置关系，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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dygzsxyn

2023-10-26

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