如图四棱锥中底面为矩形底面点是棱的中点求直线与平面的距离若求二面角的平面角的余弦值

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167432. （2023•雁塔二中•高二上一月）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝

，点E是棱PB的中点．
（1）求直线AD与平面PBC的距离；
（2）若AD＝

，求二面角A﹣EC﹣D的平面角的余弦值．

共享时间:2023-10-26 难度:2

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[考点]

二面角的平面角及求法，点、线、面间的距离计算，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，从而AD∥平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，
因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，知△PAB为等腰直角三角形，
又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB，又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB的底面ABCD内的射影，
由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC，
故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离，
在Rt△PAB中，PA＝AB＝

，
所以AE＝

PB＝

＝

（2）过点D作DF⊥CE于F，过点F做FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．
由（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，
故AD⊥AE，从而DE＝

＝

在Rt△CBE中，CE＝

＝

，由CD＝

，
所以△CDE为等边三角形，故F为CE的中点，且DF＝CD•sin

＝

因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG∥AE．且FG＝

AE，
从而FG＝

，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，DG＝

＝

，
所以cos∠DFG＝

＝

[点评]

本题考查了"二面角的平面角及求法，点、线、面间的距离计算，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

166431. （2024•西光中学•高二上一月）如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的体积为4，△A₁BC的面积为

．
（1）求A到平面A₁BC的距离；
（2）设D为A₁C的中点，AA₁＝AB，平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．

共享时间:2024-10-12 难度:2 相似度:2

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166662. （2024•高新一中•三模）在底面是菱形的四棱锥S﹣ABCD中，已知AB＝AS＝

，BS＝4，过D作侧面SAB的垂线，垂足O恰为棱BS的中点．
（1）证明在棱AD上存在一点E，使得OE⊥侧面SBC，并求DE的长；
（2）求平面SBC与平面SCD夹角的余弦值．

共享时间:2024-04-04 难度:2 相似度:2

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167919. （2024•西安工业大学附中•六模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，

，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2．
（1）求证：QB∥平面PDC；
（2）求平面CPB与平面PBQ所成角的大小；
（3）已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为

，求点A到平面HBC的距离．

共享时间:2024-05-20 难度:3 相似度:1.67

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168274. （2021•西安中学•五模）在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，AC与BD相交于点M，点N在线段AP上，AN＝λAP（λ＞0），且MN∥平面PCD．
（1）求实数λ的值；
（2）若

，∠BAD＝60°，求点N到平面PCD的距离．

共享时间:2021-05-15 难度:1 相似度:1.5

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168227. （2021•西安中学•四模）如图，直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB₁，A₁D的中点．
（1）证明：MN∥平面C₁DE；
（2）求点C到平面C₁DE的距离．

共享时间:2021-04-28 难度:1 相似度:1.5

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167564. （2023•关山中学•高二上一月）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁＝AC＝4，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC的中点．请用空间向量的知识解答下列问题：
（1）求证：AB⊥A₁C；
（2）试求二面角D﹣CA₁﹣A的余弦值．

共享时间:2023-10-16 难度:1 相似度:1.5

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167563. （2023•关山中学•高二上一月）已知A（3，3，1），B（1，0，5），求：
（1）线段AB的中点坐标和线段AB长度；
（2）到A，B两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标x，y，z满足的条件．

共享时间:2023-10-16 难度:1 相似度:1.5

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167127. （2023•西安中学•高二上一月）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA₁＝1，M为线段A₁C₁上一点．
（1）求证：BM⊥AB₁；
（2）若直线AB₁与平面BCM所成角为

，求点A₁到平面BCM的距离．

共享时间:2023-10-30 难度:1 相似度:1.5

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167877. （2024•西工大附中•模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC＝60°的菱形，M为棱PC上的动点，且

＝λ（λ∈[0，1]）．
（1）求证：△PBC为直角三角形；
（2）试确定λ的值，使得二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为

．

共享时间:2024-03-05 难度:2 相似度:1

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167940. （2023•师大附中•三模）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，

，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角N﹣CM﹣B正弦值的大小．

共享时间:2023-04-08 难度:2 相似度:1

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167965. （2023•师大附中•十一模）如图所示，已知三棱台ABC﹣A₁B₁C₁中，AB₁⊥BB₁，CB₁⊥BB₁，∠ABB₁＝∠CBB₁＝60°，AB⊥BC，BB₁＝1．
（1）求二面角A﹣BB₁﹣C的余弦值；
（2）设E、F分别是棱AC、A₁C₁的中点，若EF⊥平面ABC，求棱台ABC﹣A₁B₁C₁的体积．