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2023-2024学年陕西省西安市长安一中高三（上）第四次质检数学试卷（理科）

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共60分)

1. （本题5分）复数z满足（1+i）²z＝2﹣4i，则z的共轭复数虚部为（　　）

A.i

B.．﹣i

C.．1

D.﹣1

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2. （本题5分）设集合A＝{x|x²﹣2x﹣3＞0}，B＝{x|lg（x+1）≤1}，则（∁_RA）∩B＝（　　）

A.[﹣1，3）

B.[﹣1，9]

C.．（﹣1，3]

D.（﹣1，9）

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3. （本题5分）函数

的部分图象大致为（　　）

A.	B.
C.．	D.

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4. （本题5分）从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：cm），所得数据用茎叶图表示如图，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（　　）

A.．甲乙两班同学身高的极差相等

B.甲乙两班同学身高的平均值相等

C.．甲乙两班同学身高的中位数相等

D.．乙班同学身高在175cm以上的人数较多

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5. （本题5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（　　）

B.．

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6. （本题5分）记S_n为等比数列{a_n}的前n项和，若S₆＝4S₃，a₂+a₅＝8，则a₈＝（　　）

A.．6

B.6

C.．6

D.．18

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7. （本题5分）当x＝1时，函数

取得最大值﹣2，则f′（4）＝（　　）

A.﹣1

B.．

D.．1

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8. （本题5分）函数

的部分图象如图所示，则下列关于函数y＝f（x）的说法正确的是（　　）
①f（x）的图象关于直线

对称
②f（x）的图象关于点

对称
③将函数

的图象向左平移

个单位长度得到函数f（x）的图象
④若方程f（x）＝m在

上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是

A.①④

B.②④

C.．③④

D.．②③

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9. （本题5分）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（　　）个

A.．240

B.．360

C.600

D.720

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10. （本题5分）如图，正方形ABCD的边长为1，M、N分别为BC、CD的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，现有以下结论：
①异面直线AC与MN所成的角为定值；
②存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直；
③三棱锥N﹣ACM与B﹣ACD体积之比值为定值；
④四面体ABCD的外接球体积为

．
其中说法正确的是（　　）

A.①②③

B.①③④

C.①②④

D.．①④

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11. （本题5分）如图，F₁，F₂分别是双曲线

＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，|F₁F₂|＝6，点P在双曲线的右支上，F₂P的延长线与y轴交于点A，△APF₁的内切圆在边PF₁上的切点为Q，若|PQ|＝

，则此双曲线的渐近线方程为（　　）

A.．y＝±

B.y＝±

C.y＝±

D.y＝±

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12. （本题5分）已知函数f（x）的导函数是f′（x），f′（x﹣1）的图像关于点（1，0）对称，对任意实数x都有f（x）＝f（2﹣x），且f（x）在[﹣7，﹣6]上单调递增，设

，则a，b，c的大小关系是（　　）

A.c＜b＜a

B.．b＜c＜a

C.a＜b＜c

D.a＜c＜b

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二、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）若

与

的夹角都是60°，且

，则（2

﹣3

）•（

﹣2

）＝　　．

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14. （本题5分）

的展开式中的常数项为　．

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15. （本题5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足

，记△ABC的面积为S₁，△ABC外接圆的面积为S₂，则

＝　．

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16. （本题5分）已知函数

，若不等式f（ax）+f（lnx）+2≤0对∀x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是　．

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三、解答题(7小题共70分)

17. （本题12分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁＝3，S_n＝a_n+n²﹣1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n＝

，T_n＝b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n₊₁，求T_n．

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18. （本题12分）如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，D、E分别是AB、BB₁的中点，AA₁＝AC＝CB＝

AB＝2．
（1）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（2）求二面角D﹣A₁C﹣E的正弦值．

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19. （本题12分） 2021年12月，新冠疫情的严重反弹，扰乱了西安市民乃至陕西全省人民正常的生活秩序，各行各业的正常生产、运营受到严重影响，相关部门，为了尽快杜绝疫情的扩散，果断实施了小区封控、西安市区封城、市民足不出户等有效措施.2022年1月下旬小区相继解封．某销售商场为尽快弥补疫情带来的损失，推行高档电器“大屏幕电视机、冰箱和洗衣机”三种商品的抢购优惠促销活动．活动规则是：人人都可以参加三种商品的抢购，但每种商品只能抢购一次一件；优惠标准是：抢购成功者，大屏幕电视机优惠800元；冰箱优惠500元；洗衣机优惠300元，张某参加了这次抢购且三种商品都抢购，假设抢购成功与否相互独立，抢购三种商品成功的概率顺次为p₁、p₂、

，已知这三种商品都能抢购成功的概率为

，至少一种商品能抢购成功的概率为

．
（Ⅰ）①求p₁、p₂的值；
②求张某恰好抢购成功两种商品的概率；
（Ⅱ）求张某抢购成功获得的优惠总金额X的分布列和数学期望．

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20. （本题12分）已知抛物线H：y²＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线H上的一点M的横坐标为5，O为坐标原点，cos∠OFM＝﹣

．
（1）求抛物线H的方程；
（2）若一直线经过抛物线H的焦点F，与抛物线H交于A，B两点，点C为直线x＝﹣1上的动点．
①求证：∠ACB≤

．
②是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形？若存在，求点C的坐标；若不存在，说明理由．

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21. （本题12分）已知函数

，a＞0．
（1）讨论f（x）极值点的个数；
（2）若f（x）恰有三个零点t₁，t₂，t₃（t₁＜t₂＜t₃）和两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）．
（ⅰ）证明：f（x₁）+f（x₂）＝0；
（ⅱ）若m＜n，且mlnm＝nlnn，证明：

．

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22. （本题10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为

．
（1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（2）若点P的直角坐标为

，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．

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23. （本题0分）．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+2|，

．
（1）若a＝1，求不等式f（x）≤7的解集；
（2）若f（x）≥2a+1，求a的取值范围．

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dygzsxyn

2023-02-23

高中数学 | 考试 | 难度:1.87

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