已知抛物线的焦点为抛物线上的一点的横坐标为为坐标原点求抛物线的方程若一直线经过抛物线的焦点与抛物线交于两点点为直线上的动点求证是否存在这样的点使得为正三角形若存在求点的坐标若不存在说明理由

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167304. （2023•长安区一中•高三上四月）已知抛物线H：y²＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线H上的一点M的横坐标为5，O为坐标原点，cos∠OFM＝﹣

．
（1）求抛物线H的方程；
（2）若一直线经过抛物线H的焦点F，与抛物线H交于A，B两点，点C为直线x＝﹣1上的动点．
①求证：∠ACB≤

．
②是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形？若存在，求点C的坐标；若不存在，说明理由．

共享时间:2023-02-23 难度:2

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[考点]

抛物线的标准方程，抛物线的焦点与准线，

[答案]

（1）抛物线H的方程为y²＝4x；

（2）证明见解析；存在点

，使得△ABC为正三角形，理由见解析．

[解析]

解：（1）因为抛物线H的方程为y²＝2px，M抛物线H上且的横坐标为5，
所以M的纵坐标为

，
当点M的坐标为

时，过点M作MN⊥OF，垂足为N，
因为

，所以

，
又

，所以

，
所以

，所以

，又p＞0，
所以p＝2，
同理当点M的坐标为

时，p＝2，
所以抛物线H的方程为y²＝4x；

（2）证明：①设直线AB：x＝my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（﹣1，n），
由

，得y²﹣4my﹣4＝0，
则

，

，
所以

，所以

；

②假设存在这样的点C，设AB的中点为N，由①知N（2m²+1，2m），
∵CN⊥AB，∴

，则n＝2m³+4m，则C（﹣1，2m³+4m），
则

，
而

，
由

得，

，
所以存在点

．

[点评]

本题考查了"抛物线的标准方程，抛物线的焦点与准线，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

167718. （2024•西安一中•五模）已知抛物线的方程为y²＝2px，直线x＝﹣1为抛物线的准线，点P（1，2），且A，B为抛物线上的不同两点，若有PA与PB垂直．
（1）求抛物线的方程．
（2）证明：直线AB过定点．

共享时间:2024-05-13 难度:3 相似度:1.67

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166256. （2024•师大附中•高二上二月）设抛物线C：y²＝2px（p＞0），过焦点F的直线与抛物线C交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝2．
（1）求抛物线C的标准方程．
（2）已知点P（1，0），直线AP，BP分别与抛物线C交于点C，D．
①求证：直线CD过定点；
②求△PAB与△PCD面积之和的最小值．

共享时间:2024-12-29 难度:5 相似度:1.5

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170593. （2021•西安中学•高二上期末）（1）求焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为

的双曲线的标准方程；
（2）求经过点P（﹣2，﹣4）的抛物线的标准方程．

共享时间:2021-02-14 难度:5 相似度:1.5

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170037. （2023•西工大附中•高三上期末）已知抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，圆M与y轴相切，且圆心M与抛物线C的焦点重合．
（1）求抛物线C和圆M的方程；
（2）设P（x₀，y₀）（x₀≠2）为圆M外一点，过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）和点Q（x₃，y₃），R（x₄，y₄）．且y₁y₂y₃y₄＝16，证明：点P在一条定曲线上．

共享时间:2023-02-04 难度:1 相似度:1.5

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169311. （2025•铁一中学•高二上期末）已知抛物线C₁：y²＝4x和C₂：x²＝2py（p＞0）的焦点分别为F₁，F₂，点P（﹣1，﹣1），且F₁F₂⊥OP（O为坐标原点）．
（I）求抛物线C₂的方程；
（II）过点O的直线交C₁的下半部分于点M，交C₂的左半部分于点N，求△PMN面积的最小值．

共享时间:2025-02-12 难度:1 相似度:1.5

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166468. （2024•铁一中学•高三上三月）设抛物线C：y²＝2px（p＞0），过焦点F的直线与C交于点A，B．当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝2．
（1）求C的方程；
（2）已知点P（1，0），直线AP，BP分别与C交于点C，D．
①求证：直线CD过定点；
②求△PAB与△PCD面积之和的最小值．

共享时间:2024-01-29 难度:5 相似度:1.5

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172441. （2021•西安中学•高二上期中）已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴上，且过点（4，4）．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P是抛物线上一动点，M点是PF的中点，求点M的轨迹方程．

共享时间:2021-11-29 难度:1 相似度:1.5

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167672. （2024•西安中学•一模）已知抛物线E：y²＝2px（p＞0）的焦点为F，E上任意一点P到F的距离与到点Q（2，0）的距离之和的最小值为3．
（1）求抛物线E的标准方程．
（2）已知过点Q且互相垂直的直线l₁，l₂与E分别交于点A，C与点B，D，线段AC与BD的中点分别为M，N．若直线OM，ON的斜率分别为k₁，k₂，求k₁k₂的取值范围．

共享时间:2024-03-11 难度:5 相似度:1.5

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167455. （2023•雁塔二中•高二上二月）已知抛物线C：y²＝3x的焦点为F，斜率为

的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；
（2）若

＝3

，求|AB|．

共享时间:2023-12-24 难度:1 相似度:1.5

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170012. （2023•西工大附中•高三上期末）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0），点A（4，﹣1），P为抛物线上的动点，直线l为抛物线的准线，点P到直线l的距离为d，|PA|+d的最小值为5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线y＝kx+1与抛物线相交于M，N两点，与y轴相交于Q点，当直线AM，AN的斜率存在，设直线AM，AN，AQ的斜率分别为k₁，k₂，k₃，是否存在实数λ，使得

，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．

共享时间:2023-02-15 难度:2 相似度:1

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172093. （2023•铁一中学•高二下期中）已知F为抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点，过F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，|AB|＝8．
（1）求抛物线的方程：
（2）已知P（x₀，﹣1）为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足k_PM•k_PN＝﹣2，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由．

共享时间:2023-05-16 难度:2 相似度:1

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171592. （2023•西安三中•高三上期中）已知F为抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上的一点，直线MF的斜率为﹣1，△OFM的面积为4．
（1）求C的方程；
（2）抛物线C在x轴上方一点A的横坐标为2，过点A作两条倾斜角互补的直线，与曲线C的另一个交点分别为B、C，求证：直线BC的斜率为定值．

共享时间:2023-11-26 难度:2 相似度:1

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171504. （2023•铁一中学•高二上期中）已知抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（2，y₀）为抛物线上一点，且|AF|＝4．
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同两点P，Q，若OP⊥OQ，求m的值．

共享时间:2023-11-20 难度:2 相似度:1

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171049. （2025•高新一中•高二下期中）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0），Q为C上一点．
（1）证明：以点Q为圆心且过点

的圆与C的准线相切．
（2）若动直线l：y＝kx+2与C相交于M，N两点，点P（t，﹣2）满足OP⊥l（O为坐标原点），且直线PM，PN的斜率之和为2k．
（i）求C的方程；
（ii）过点Q作C的切线l′，若l′∥l，求△MPQ的面积的最小值．

共享时间:2025-04-30 难度:2 相似度:1

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171030. （2025•高新一中•高二下期中）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0），Q为C上一点．
（1）证明：以点Q为圆心且过点

共享时间:2025-04-23 难度:2 相似度:1

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2023-02-23

高中数学 | 高三上 | 解答题

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2023-2024学年陕西省西安市长安一中高三（上）第四次质检数学试卷（理科）

更新:2023-02-23 07:06浏览量:20

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