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2024-2025学年陕西省西安三中高一（上）月考数学试卷（12月份）

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(11小题共58分)

1. （本题5分）设集合M＝{x|x＝m²﹣n²，m，n∈Z}，T＝{t|t＝2k+1，k∈Z}，则“t∈M”是“t∈T”的（　　）条件．

A.充分非必要	B.必要非充分
C.．充分必要	D.既非充分又非必要

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2. （本题5分）已知a＞0，b＞2，且2a+b＝ab+1，则a+2b的最小值是（　　）

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3. （本题5分）若关于x的不等式x²﹣ax﹣a﹣1≤0有5个负整数解，则a的取值范围是（　　）

A.（﹣7，﹣6]

B.[﹣7，﹣6）

C.（﹣6，﹣5]

D.[﹣6，﹣5）

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4. （本题5分）如图所示，直线y＝kx+m与曲线y＝f（x）相切于（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））两点，其中x₁＜x₂．若当x∈（0，x₁）时，f′（x）＞k，则函数f（x）﹣kx在（0，+∞）上的极大值点个数为（　　）

A.0

B.1

C.2

D.3

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5. （本题5分）在锐角△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知

且a＝3，则b+c的取值范围为（　　）

A.（3，6）

B.（3，6]

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6. （本题5分）若两条直线l₁：y＝x+a，l₂：y＝x+b与圆x²+y²﹣4x﹣2y+m＝0的四个交点能构成矩形，则a+b＝（　　）

A.﹣1

B.．1

C.．2

D.﹣2

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7. （本题5分）曲线C的形状是一个斜椭圆，其方程为x²+y²﹣xy＝6，点P（m，n）是曲线C上的任意一点，点O为坐标原点，则下列说法错误的是（　　）

A.曲线C关于y＝x对称	B.m+n的最大值为
C.该椭圆的离心率为	D.n的最大值为

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8. （本题5分）若n（n∈N^*）次多项式

满足P_n（cosx）＝cosnx，则称这些多项式P_n（t）为切比雪夫多项式．如，由cos2θ＝2cos²θ﹣1可得切比雪夫多项式

，同理可得

．利用上述信息计算sin54°＝（　　）

D.．

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9. （本题6分）已知函数

的图象经过点

，将f（x）的部分图象沿x轴折成直二面角（如图所示），若

，则（　　）

C.将f（x）的图象向左平移2个单位即可得到函数的图象

D.函数y＝（f（x））²的单调递减区间为

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10. （本题6分）如图，平面四边形ABCD中，对角线AC，BD的交点为E，△ABD的面积是△BCD面积的两倍，又数列{a_n}满足a₁＝2，当n≥2时，

，S_n为数列{a_n}的前n项和，则（　　）

A.	B.．
C.是等差数列	D.．

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11. （本题6分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为AB、BC的中点，则（　　）

A.EF⊥BD₁

B.EF∥平面A₁D₁B

C.直线BD₁与平面ABCD所成的角为

D.四棱锥B₁﹣EBF外接球表面积为6π

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二、填空题(3小题共15分)

12. （本题5分）在1，2，3，4，5的所有排列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅中，满足条件a₁＜a₂，a₃＜a₂，a₃＜a₄，a₅＜a₄的排列个数为　　．

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13. （本题5分）记等差数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n．若

，则

＝　．

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14. （本题5分）若复数z满足|z﹣2|＝|z﹣2i|（i为虚数单位），则|z﹣1﹣3i|的取值范围是　．

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三、解答题(5小题共77分)

15. （本题13分） △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

．
（1）求角B的大小；
（2）若BE是△ABC边AC上的中线，且BE＝3，求△ABC面积的最大值．

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16. （本题15分）已知函数f（x）＝xe^x﹣2ax（a＞0）．
（1）若函数f（x）在x＝1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为

，求a的值；
（2）若函数f（x）的最小值为﹣e，求a的值．

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17. （本题15分）已知平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁，底面是正方形，AB＝2，AA₁＝1，∠BAA₁＝60°，∠DAA₁＝90°，

，

，设

，

．
（1）用向量

，

表示向量

，并求MN的长度；
（2）设点E满足

，是否存在λ使得E，M，N三点共线，若存在求出λ，若不存在请说明理由．

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18. （本题17分）已知椭圆E：

的离心率为

，且过点

．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）已知直线l：y＝kx+m满足m≠﹣2k且与椭圆E相交于不同的两点A，B，若以线段AB为直径的圆始终过点Q（2，0），试判断直线l是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

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19. （本题17分）已知数列{a_n}对于任意n∈N⁺都有

．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设数列

前n项和为S_n求S_n．
（3）证明：

．

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2024-12-11

高中数学 | 段考 | 难度:1.21

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