如图所示直线与曲线相切于两点其中若当时则函数在上的极大值点个数为

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166706. （2024•西安三中•高一上二月）如图所示，直线y＝kx+m与曲线y＝f（x）相切于（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））两点，其中x₁＜x₂．若当x∈（0，x₁）时，f′（x）＞k，则函数f（x）﹣kx在（0，+∞）上的极大值点个数为（　　）

A.0

B.1

C.2

D.3

共享时间:2024-12-11 难度:1

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组卷

[考点]

函数在某点取得极值的条件，

[答案]

[解析]

解：分别作出f（x）斜率为k的另外三条切线：y＝kx+m_i（i＝1，2，3），
切点分别为x₅，x₃，x₄，如图所示：
由图可知，当x∈（0，x₁）∪（x₃，x₂）∪（x₄，x₅）时，f′（x）＞k；
当x∈（x₁，x₃）∪（x₂，x₄）∪（x₅，+∞）时，f′（x）＜k．
设g（x）＝f（x）﹣kx，则g′（x）＝f′（x）﹣k，
∴当x∈（0，x₁）∪（x₃，x₂）∪（x₄，x₅）时，g′（x）＞0；
当x∈∈（x₁，x₃）∪（x₂，x₄）∪（x₅，+∞）时，g′（x）＜0．
则g（x）在（0，x₁），（x₃，x₂），（x₄，x₅）上单调递增，
在（x₁，x₃），（x₂，x₄），（x₅，+∞）上单调递减，
∴g（x）＝f（x）﹣kx有x＝x₁，x＝x₂和x＝x₅三个极大值点．
故选：D．