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德优网2025陕西省西安市碑林区西安三中高中数学模考模拟

2025年陕西省西安三中高考数学四模试卷

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(8小题共40分)

1. （本题5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝3n﹣1，n∈N}，则A∩B＝（　　）

A.{2，5}

B.．{1，4}

C.{﹣1，2，5}

D.．{0，1，4}

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2. （本题5分）已知关于x的实系数方程x²﹣2x+k＝0的一个虚根为1﹣i，则另外一个根的虚部为（　　）

A.．1

B.．﹣1

C.．i

D.．﹣i

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3. （本题5分）已知直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，AA₁＝2，则直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁外接球的表面积为（　　）

A.．36π

B.18π

C.．9π

D.．3π

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4. （本题5分）已知焦点在y轴上的椭圆

的焦距为2，则其离心率为（　　）

A.．

B.．

C.．

D.．

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5. （本题5分）若2^a＝3＝log_b3，c＝

，则实数a，b，c的大小顺序为（　　）

A.．a＞b＞c

B.．a＞c＞b

C.．b＞c＞a

D.．b＞a＞c

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6. （本题5分）（1+2x+3x²）⁵展开式中x³的系数为（　　）

A.200

B.230

C.．120

D.180

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7. （本题5分）若函数

（a，b∈R）为奇函数，则a^b＝（　　）

A.．

B.．

C.．8

D.．16

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8. （本题5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E为棱BB₁的中点，G为棱B₁C₁上一点，则（　　）

A.AE∥面A₁C₁D

B.．直线AE，A₁B₁，D₁G不可能相交于同一点

C.．正方体表面上满足的P点的轨迹长度为

D.．面AEC与面DA₁G可能平行

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二、多选题(3小题共18分)

9. （本题6分）已知向量

，

，则下列结论正确的有（　　）

A.若∥，则

B.若，则

C.．若，的夹角是，则

D.若与的方向相反，则在上的投影向量坐标是

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10. （本题6分）已知A、B是两个随机事件，且0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，则下列说法正确的有（　　）

A.．若A、B相互独立，则P（B|A）＝P（B）

B.P（B）≥P（B|A）恒成立

C.．若P（A∪B）＝P（A）+P（B），则P（B|A）＝0

D.．若，则A、B相互独立

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11. （本题6分）近年来，宝鸡市教育局致力于构建“学好上、上好学、学得好”的“宝鸡好教育”品牌体系．在关注学生身体健康的同时，也高度重视学生的心理健康，为此特别推出了“和风计划”．某校积极响应“和风计划”，为了缓解学生的学习压力，面向1630名高三学生开展了团建活动．如果将所有参加活动的学生依次按照1，2，3，4，5，6，7，…编上号，并按图所示的顺序排队，我们将2，3，5，7，10，…位置称为“拐角”，因为指向它的箭头与离开它时的箭头方向发生了改变，那么下面说法正确的有（　　）

A.站在第20拐角的学生是111号

B.站在第23拐角的学生是137号

C.．第133号同学站在拐角位置

D.．站在拐角位置的同学共有79名

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三、填空题(3小题共15分)

12. （本题5分）若一个函数的定义域为R，值域为（1，+∞），则它的解析式可能为：　　．

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13. （本题5分）若函数f（x）＝4sinx+3cosx的极大值点为x₀，则sinx₀＝　．

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14. （本题5分）直线l：xcosθ+ysinθ＝1（θ∈R）恒与圆C相切，则圆C的方程为　，若l过双曲线E：x²﹣

＝1（b＞0）的左焦点F₁，交双曲线E的右支于点P，双曲线E的右焦点为F₂，三角形PF₁F₂的面积为8，则b＝　．

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四、解答题(5小题共77分)

15. （本题13分）在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA＝PC，PA⊥PC，AC⊥BC，BC＝2AC＝4，M为AB的中点，N为PB上一点，

．
（1）求证：AC⊥PM；
（2）求直线CN与平面PAB所成角的正弦值．

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16. （本题15分）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值X服从正态分布N（μ，σ²），现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图．
（1）根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差s的近似值为11，用样本平均数

作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，可得到X服从的正态分布N（μ，σ²），求σ和μ的值；
（2）从样本中质量指标值在[45，55）和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；
（3）将指标值不低于K的芯片称为A等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为A等品的概率为0.16，用第（1）问结果试估计K的值．
（附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）≈0.9973．）

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17. （本题15分）已知：数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁＝1，当n≥2时，

＝a_n（S_n﹣1）．
（1）求证：数列{

}为等差数列；
（2）记[x]表示不超过x的最大整数，设

，求数列{b_n}前2025项和T_n．

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18. （本题17分）已知抛物线E：y²＝2px（p＞0）的焦点为F，P为E上的动点，P到点F的距离与P到E的准线的距离之和的最小值为2．
（1）求抛物线E的方程．
（2）给出如下的定义：若直线l与抛物线C有且仅有一个公共点Q，且l与C的对称轴不平行，则称直线l为抛物线C上点Q处的切线，公共点Q称为切点．请你运用上述定义解决以下问题：
（i）证明：抛物线E上Q（x₀，y₀）点处的切线方程为y₀y＝2x₀+2x；
（ii）若过点M（2，t）可作抛物线E的2条切线，切点分别为A，B．证明：直线MA，MB的斜率之积为常数．

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19. （本题17分）已知函数f（x）＝e^x^﹣lna﹣sinx，x∈（0，+∞）．
（1）当a＝e时，求y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）≥0恒成立，求a的范围；
（3）若f（x）在（0，π）内有两个不同零点x₁，x₂，求证：

．

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dygzsxyn

2025-04-30

高中数学 | 模考 | 难度:1.74

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