已知数列的前项和为当时求证数列为等差数列记表示不超过的最大整数设求数列前项和

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230683. （2025•西安三中•四模）已知：数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁＝1，当n≥2时，

＝a_n（S_n﹣1）．
（1）求证：数列{

}为等差数列；
（2）记[x]表示不超过x的最大整数，设

，求数列{b_n}前2025项和T_n．

共享时间:2025-04-30 难度:2

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[考点]

数列求和的其他方法，数列递推式，

[校正]

[答案]

（1）证明见解析；

（2）﹣2021．

[解析]

解：（1）证明：数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁＝1，当n≥2时，

＝a_n（S_n﹣1），
又n≥2时，a_n＝S_n﹣S_n_﹣1，
可得

，整理得S_n_﹣1﹣S_n＝S_n_﹣1S_n，
即

，
所以数列

是首项和公差均为1的等差数列．
（2）由等差数列的通项公式可得

＝n，即

，
记[x]表示不超过x的最大整数，设

＝[﹣lgn]+[lgn]，
当n＝10^k（k＝0，1，2，3，⋯）时，lgn＝k，即[lgn]＝k，[﹣lgn]＝﹣k，
所以b_n＝[lgn]+[﹣lgn]＝k+（﹣k）＝0；
当n∈N^*且n≠10^k（k＝0，1，2，3，⋯）时，lgn不是整数，
可设lgn∈（m，m+1），m∈Z，则﹣lgn∈（﹣m﹣1，﹣m），
则[lgn]＝m，[﹣lgn]＝﹣m﹣1，可得b_n＝[lgn]+[﹣lgn]＝m+（﹣m﹣1）＝﹣1；
综上所述：

．
在1≤n≤2025（n∈N^*）上，b₁＝b₁₀＝b₁₀₀＝b₁₀₀₀＝0，b_n＝﹣1（n≠1，10，100，1000），
所以T₂₀₂₅＝0×4+（﹣1）×2021＝﹣2021．

[点评]

本题考查了"数列求和的其他方法，数列递推式，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

166721. （2024•西安三中•高一上二月）已知数列{a_n}对于任意n∈N⁺都有

．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设数列

前n项和为S_n求S_n．
（3）证明：

．

共享时间:2024-12-11 难度:2 相似度:2

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166641. （2024•高新一中•高三上五月）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且

，其中n∈N^*．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a_n•a_n₊₁•b_n＝4，证明：

．

共享时间:2024-12-26 难度:2 相似度:2

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166892. （2024•高新一中•五模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且

，其中n∈N^*．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a_n•a_n₊₁•b_n＝4，证明：

．

共享时间:2024-05-13 难度:2 相似度:2

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232092. （2024•西工大附中•高二下一月）等差数列{a_n}的前n项和S_n＝4n²﹣25n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

共享时间:2024-04-20 难度:3 相似度:1.67

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168170. （2023•西工大附中•八模）已知数列{a_n}满足a₁＝1，a₂＝3，数列{b_n}为等比数列，且满足b_n（a_n₊₁﹣a_n）＝b_n₊₁．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}的前n项和为S_n，且2S₂＝S₃﹣2，记数列{c_n}满足