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德优网2024陕西省西安市高新区高新一中高中数学模考模拟

2024-2025年陕西省西安市高新一中高三（上）第五次模拟数学试卷

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(11小题共58分)

1. （本题5分）已知复数z满足（2+i）z＝2﹣4i，则

＝（　　）

A.﹣2i

B.2i

C.﹣2

D.2

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2. （本题5分）已知命题p：∃x∈R，x²﹣x+1≤0，命题q：∀x≥0，e^x≥cosx，则（　　）

A.p和q都是真命题	B.￢p和q都是真命题
C.．p和￢q都是真命题	D.￢p和￢q都是真命题

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3. （本题5分）已知向量

，

满足

，

，且

，则

＝（　　）

C.1

D.2

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4. （本题5分）为了了解某班学生数学成绩，利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本，统计如表：则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为（　　）

	学生数	平均分	方差
男生	6	80	4
女生	4	75	2

A.77.5，9.2

B.．77.5，11

C.78，9.2

D.．78，11

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5. （本题5分）已知A（﹣1，0），B（1，0），在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（　　）

A.	B.
C.	D.

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6. （本题5分）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上单调递减，满足

，则实数a的取值范围为（　　）

B.．

C.．（0，8]

D.[8，+∞）

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7. （本题5分）已知圆柱的底面半径和球的半径相等，圆柱的高与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（　　）

A.1：2

B.1：1

C.3：4

D.．2：3

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8. （本题5分）已知函数f（x）＝e^x+x，g（x）＝lnx+x，若f（x₁）＝g（x₂），则x₁x₂的最小值为（　　）

A.﹣e

C.﹣1

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9. （本题6分）将函数f（x）＝2sin2x的图象向右平移

个单位后得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的（　　）

A.g（x）＝﹣2cos2x

B.g（x）的最大值为2，图象关于直线对称

C.g（x）在上单调递增，为奇函数

D.g（x）的周期为π，图象关于点对称

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10. （本题6分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆

，圆O：x²+y²＝5，P为圆O上任意一点，Q为椭圆C上任意一点．过P作椭圆C的两条切线l₁，l₂，当l₁，l₂与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为k₁，k₂，则（　　）

A.椭圆C的离心率为	B.\|PQ\|的最小值为1
C.\|PQ\|的最大值为	D.

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11. （本题6分）如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁）放置在水平面α的上方，点A恰在平面α内，点B到平面α的距离为2，若容器中装有水，静止时水面与表面AA₁D₁D的交线与A₁D的夹角为0，记水面到平面α的距离为d，则（　　）

A.平面ABC₁D₁⊥平面α

B.点D₁到平面α的距离为8

C.当d∈（2，8）时，水面的形状是四边形

D.．当d＝7时，所装的水的体积为

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二、填空题(3小题共15分)

12. （本题5分）已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₅+a₉＝14，a₂＝﹣3，则S₈＝　　．

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13. （本题5分）已知3sinβ﹣cosβ+3＝0，sinα＝3sin（α+β），则tan（α+β）＝　．

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14. （本题5分）在n维空间中（n≥2，n∈N），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标（a₁，a₂，…，a_n），其中a_i∈{0，1}（1≤i≤n，i∈N）．定义：在n维空间中两点（a₁，a₂，…，a_n）与（b₁，b₂，…，b_n）的曼哈顿距离为|a₁﹣b₁|+|a₂﹣b₂|+…+|a_n+b_n|在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则E[X]＝　．

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三、解答题(5小题共77分)

15. （本题15分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且

，其中n∈N^*．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a_n•a_n₊₁•b_n＝4，证明：

．

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16. （本题15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，△ABC是边长为

的等边三角形，AD＝2，

．
（1）证明：平面PCD⊥平面PBC；
（2）若平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为

，求PC的长．

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17. （本题15分）某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为p₁、p₂、p₃，假定p₁、p₂、p₃互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立．
（1）计划依次派甲乙丙进行闯关，若

，

，求该小组比赛胜利的概率；
（2）若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目X的分布，并求X的期望E[X]；
（3）已知1＞p₁＞p₂＞p₃，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出．

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18. （本题15分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y²＝2px（p＞0）过点P（m，2），且P到抛物线焦点的距离为2，M和N是x轴上关于原点对称的两个点，过点M倾斜角为θ的直线l与抛物线C交于A，B两点，且MB⊥NB．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若N为C的焦点，求证：

；
（3）过点A作x轴的垂线，垂足为H，若∠ABH＝2θ，求直线l的方程．

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19. （本题17分）一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线．1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程

，其中c为参数．当c＝1时，就是双曲余弦函数

，类似地双曲正弦函数

，它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
（1）类比三角函数的三个性质：
①倍角公式sin2x＝2sinxcosx；
②平方关系sin²x+cos²x＝1；
（2）求导公式

写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；
①当x＞0时，双曲正弦函数y＝sh（x）的图象总在直线y＝kx的上方，求实数k的取值范围：
②若x₁＞0，x₂＞0，证明：
[ch（x₂）+sh（x₂）﹣x₂﹣1]•[ch（x₁）+sh（x₁）]＞sin（x₁+x₂）﹣sinx₁﹣x₂cosx₁．

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dygzsxyn

2024-05-13

高中数学 | 模考 | 难度:1.68

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