在三棱锥中平面平面为的中点为上一点求证求直线与平面所成角的正弦值

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230681. （2025•西安三中•四模）在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA＝PC，PA⊥PC，AC⊥BC，BC＝2AC＝4，M为AB的中点，N为PB上一点，

．
（1）求证：AC⊥PM；
（2）求直线CN与平面PAB所成角的正弦值．

共享时间:2025-04-30 难度:2

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[考点]

直线与平面垂直，空间向量法求解直线与平面所成的角，

[答案]

（1）证明见解析；（2）

．

[解析]

解：（1）证明：取D为AC中点，连接DM、PD，
因为D、M分别为AC、AB的中点，则DM∥BC，
因为AC⊥BC，则DM⊥AC，
因为PA＝PC，D为AC的中点，所以AC⊥PD，
因为PD∩DM＝D，PD、DM⊂平面PDM，
所以AC⊥平面PDM，
因为PM⊂平面PDM，故AC⊥PM．
（2）因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PD⊥AC，PD⊂平面PAC，
所以PD⊥平面ABC，
又因为AC⊥DM，以点D为坐标原点，DA、DM、DP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则A（1，0，0）、B（﹣1，4，0）、C（﹣1，0，0）、P（0，0，1）、M（0，2，0），
则

，

，
设平面PAB的一个法向量为

，
则

，则

，
取x＝2，则y＝1，z＝2，则

，
因为

，则点N为PB的中点，即点

，
又有C（﹣1，0，0），则

，
设直线CN与平面PAB所成角为α，
则

，
所以直线CN与平面PAB所成角的正弦值

．

[点评]

本题考查了"直线与平面垂直，空间向量法求解直线与平面所成的角，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

166274. （2024•师大附中•高二上一月）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，△ABC为边长为2的正三角形，AA₁＝3，D为AC中点，点E在棱CC₁上，且CE＝λCC₁，0＜λ＜1．
（1）当

时，求证A₁E⊥平面BDE；
（2）设O₁为底面A₁B₁C₁的中心，求直线CO₁与平面BDE所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时λ的值．

共享时间:2024-10-30 难度:2 相似度:2

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166757. （2024•建大附中•一模）如图，在九面体ABCDEFGH中，平面AGF⊥平面ABCDEF，平面AFG∥平面HCD，

，AB＝6，底面ABCDEF为正六边形．
（1）证明：GH∥平面ABCDEF．
（2）证明：GH⊥平面AFG．
（3）求GE与平面ABG所成角的正弦值．

共享时间:2024-03-13 难度:3 相似度:1.67

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261. （2014•陕西省•真题）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．
（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；
（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．

共享时间:2014-07-07 难度:3 相似度:1

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169008. （2020•西安中学•一模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．
（1）求证：AB⊥PE；
（2）求二面角A﹣PB﹣E的大小．

共享时间:2020-03-12 难度:2 相似度:1

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168573. （2021•西安中学•九模）．如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，点C在平面A₁B₁C₁内的射影点为A₁B₁的中点O，且AC：BC：AB：AA₁＝1：1：

：2．
（1）求证：AB⊥平面OCC₁；
（2）若CO＝

，求点C到平面ABO的距离．

共享时间:2021-06-30 难度:2 相似度:1

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168619. （2021•西安中学•二模）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧

所在平面垂直，M是半圆弧上异于C，D的点．
（Ⅰ）证明：直线DM⊥平面BMC；
（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．

共享时间:2021-03-17 难度:2 相似度:1

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168641. （2021•西安中学•二模）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为4的等边三角形，∠A₁AB＝∠A₁AC，D为BC的中点．
（1）证明：BC⊥平面A₁AD．
（2）若△A₁AD是等边三角形，求二面角D﹣AA₁﹣C的正弦值．

共享时间:2021-03-26 难度:2 相似度:1

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168711. （2021•西安中学•仿真）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝

，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．

（1）求证：AM∥平面BEC；
（2）求证：BC⊥平面BDE；
（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．

共享时间:2021-06-05 难度:2 相似度:1

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168734. （2021•西安中学•仿真）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝

，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．

（1）求证：AM∥平面BEC；
（2）求证：BC⊥平面BDE；
（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．

共享时间:2021-06-10 难度:2 相似度:1

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168779. （2021•西安中学•八模）如图，四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A₁O⊥平面ABCD，AB＝AA₁＝

．
（1）证明：A₁C⊥平面BB₁D₁D；
（2）求平面OCB₁与平面BB₁D₁D的夹角θ的大小．

共享时间:2021-06-19 难度:2 相似度:1

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168918. （2021•高陵一中•二模）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧

所在平面垂直，M是半圆弧上异于C，D的点．
（Ⅰ）证明：直线DM⊥平面BMC；
（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．

共享时间:2021-03-23 难度:2 相似度:1

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168940. （2021•高陵一中•二模）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为4的等边三角形，∠A₁AB＝∠A₁AC，D为BC的中点．
（1）证明：BC⊥平面A₁AD．
（2）若△A₁AD是等边三角形，求二面角D﹣AA₁﹣C的正弦值．

共享时间:2021-03-30 难度:2 相似度:1

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169123. （2020•西工大附中•三模）已知一等腰梯形ABCD，如图（1）所示，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，沿AC将△ACD折起，使得平面ABC⊥平面ACD，如图（2）所示，连接BD，得三棱锥D﹣ABC．
（1）求证：图（2）中BC⊥平面ACD；
（2）求图（2）中的二面角A﹣BD﹣C的正弦值．