已知抛物线的焦点为为上的动点到点的距离与到的准线的距离之和的最小值为求抛物线的方程给出如下的定义若直线与抛物线有且仅有一个公共点且与的对称轴不平行则称直线为抛物线上点处的切线公共点称为切点请你运用上述定义解决以下问题证明抛物线上点处的切线方程为若过点可作抛物线的条切线切点分别为证明直线的斜率之积为常数

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230684. （2025•西安三中•四模）已知抛物线E：y²＝2px（p＞0）的焦点为F，P为E上的动点，P到点F的距离与P到E的准线的距离之和的最小值为2．
（1）求抛物线E的方程．
（2）给出如下的定义：若直线l与抛物线C有且仅有一个公共点Q，且l与C的对称轴不平行，则称直线l为抛物线C上点Q处的切线，公共点Q称为切点．请你运用上述定义解决以下问题：
（i）证明：抛物线E上Q（x₀，y₀）点处的切线方程为y₀y＝2x₀+2x；
（ii）若过点M（2，t）可作抛物线E的2条切线，切点分别为A，B．证明：直线MA，MB的斜率之积为常数．

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[考点]

直线与抛物线的综合，

[答案]

（1）y²＝4x；

（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析．

[解析]

解：（1）抛物线E：y²＝2px（p＞0）的焦点

，准线方程为

，
设动点P（x₀，y₀）（x₀≥0），动点P到其准线的距离为d，
由抛物线定义得

，则|PF|+d＝2d＝2x₀+p≥p，
当且仅当x₀＝0时取等号，
依题意，p＝2，所以抛物线E的方程为y²＝4x．
（2）证明：（i）当抛物线上Q（x₀，y₀）处的切线斜率存在时，设其方程为y﹣y₀＝k（x﹣x₀），其中x₀≠0，
由

，得y²﹣4y+4y₀﹣4kx₀＝0①，
由题意可得

，可得k²x₀﹣ky₀+1＝0，
即

，所以

，解得k＝

，
所以切线方程为

，即

，
即

，即y₀y＝2x₀+2x②；
y₀y＝2x₀+2x即为E上Q（x₀，y₀）处的切线斜率存在时的方程；
当E上Q（x₀，y₀）处的切线斜率不存在时，即x₀＝0时处切线方程为x＝0，符合②式．
所以E上Q（x₀，y₀）处的切线方程为y₀y＝2x₀+2x．
（ii）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由（i）知A（x₁，y₁）点处的切线方程为y₁y＝2x₁+2x④，
B（x₂，y₂）点处的切线方程为y₂y＝2x₂+2x⑤，
将M（2，t）分别代入上面两式得

，
所以点A、B的坐标均满足方程2x﹣ty+4＝0，
所以直线AB方程为ty＝2x+4，
由④⑤知直线MA、MB斜率分别为

，

，则

⑥，
由

得y²﹣2ty+8＝0，则Δ＝4t²﹣32＞0，可得t²＞8，
由韦达定理可得y₁y₂＝8，则

，
所以直线MA、MB斜率之积为常数．

[点评]

本题考查了"直线与抛物线的综合，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

170302. （2022•西安中学•高二上期末）已知抛物线C：y²＝2x，过点A（2，0）且斜率为k的直线与抛物线C相交于P，Q两点．
（Ⅰ）设点B在x轴上，分别记直线PB，QB的斜率为k₁，k₂．若k₁+k₂＝0，求点B的坐标；
（Ⅱ）过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M，N两点，求

的值．

共享时间:2022-02-23 难度:1 相似度:2

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169216. （2025•师大附中•高二上期末）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点为F．且F与圆M：x²+（y+4）²＝1上点的距离的最小值为4．
（1）求抛物线的方程；
（2）若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线．A，B是切点，求△PAB面积的最大值．

共享时间:2025-02-11 难度:1 相似度:2

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171481. （2023•西工大附中•高二上期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2＝0，抛物线C：y²＝2px（p＞0）．
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）当p＝1时，若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q，求线段PQ的中点M的坐标．

共享时间:2023-11-17 难度:1 相似度:2

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169395. （2024•西安中学•高三上期末）已知抛物线C：y²＝2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．

共享时间:2024-02-08 难度:1 相似度:2

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170148. （2023•铁一中学•高二下期末）已知曲线C上任意一点M满足|MF₁|﹣|MF₂|＝2，且F₁（﹣2，0），F₂（2，0）．
（1）求C的方程；
（2）设A（﹣1，0），B（1，0），若过F₂（2，0）的直线与C交于P，Q两点，且直线AP与BQ交于点R．证明：点R在定直线上．

共享时间:2023-07-12 难度:1 相似度:2

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230535. （2025•长安区•二模）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形．已知抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点为F，直线l：y＝2过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线l₁和l₂，且l₁，l₂分别交x轴于点A，B，交l于点M，N．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若△PMN为阿基米德三角形，求∠MPN；
（3）证明：切线三角形PAB的外接圆过定点．

共享时间:2025-03-26 难度:1 相似度:2

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230553. （2025•西工大附中•十二模）设A（﹣8，0），B（﹣2，8），O（0，0），点P是抛物线C：y²＝2px（p＞0）上的动点，点P到抛物线C的准线的距离最小值为2．
（1）求|PB|的最小值；
（2）求tan∠PAB的取值范围；
（3）证明：∠PAB≥∠PAO．

共享时间:2025-07-25 难度:5 相似度:2

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170793. （2020•西安中学•高二上期末）已知过抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点，斜率为2

的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，且|AB|＝9．
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若

＝

+λ

，求λ的值．

共享时间:2020-02-24 难度:1 相似度:2

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170465. （2022•西工大附中•高一下期末）如图，已知点F（1，0）为抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S₁，S₂．
（Ⅰ）求p的值及抛物线的准线方程；
（Ⅱ）求

的最小值及此时点G的坐标．

共享时间:2022-07-08 难度:1 相似度:2

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167604. （2023•新城一中•高二上二月）如图抛物线顶点在原点，圆（x﹣2）²+y²＝4的圆心恰是抛物线的焦点．
（1）求抛物线的方程；
（2）一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点，求|AB|+|CD|的值．

共享时间:2023-12-19 难度:1 相似度:2

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235982. （2020•交大附中•高二上期末）已知抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在抛物线上，且点M的横坐标为4，|MF|＝5．
（1）求抛物线的方程；
（2）设过焦点F且倾斜角为45°的l交抛物线于A、B两点，求线段AB的长．

共享时间:2020-02-16 难度:1 相似度:2

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236110. （2018•西安中学•高二上期末）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点F，抛物线上一点P点纵坐标为2，|PF|＝3．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知抛物线C与直线l：y＝kx+1交于M，N两点，y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有k_PM+k_PN＝0？说明理由．

共享时间:2018-02-04 难度:1 相似度:2

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236373. （2017•长安区一中•高二上期末）已知过抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点，斜率为2