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德优网2025陕西省西安市长安区高中数学模考模拟

2025年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷

试卷总分:100分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(8小题共24分)

1. （本题3分）已知

，则复数

的实部与虚部之和为（　　）

A.1

C.2

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2. （本题3分）已知S_n为数列{a_n}的前n项和，命题p：{a_n}是等比数列；命题q：S_m，S_2m，S_3m成等比数列，则p是q的（　　）

A.充分不必要条件	B.必要不充分条件
C.．充分必要条件	D.．既不充分也不必要条件

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3. （本题3分）已知向量

，

满足

，

，则

在

上的投影向量为（　　）

A.．﹣3

B.．（0，﹣3）

C.．3

D.．（0，3）

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4. （本题3分）某校组织1000名学生参加“新中国成立75周年”知识竞赛，经统计这1000名学生的成绩都在区间[50，100]内，按分数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，根据图中数据，下列结论正确的是（　　）

A.1000名学生成绩的平均数是77

B.成绩不低于80分的学生所占比例为40%

C.用分层抽样从该校学生中抽取容量为100的样本，则应在[70，80）内抽取30人

D.这1000名学生成绩的第50百分位数是80

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5. （本题3分）双曲线的左顶点为A，点M，N是双曲线上关于y轴对称的两点．若直线AM与AN的斜率之积为

，则双曲线的离心率为（　　）

B.．

D.．3

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6. （本题3分）已知函数

，g（x）＝f（x）+2x﹣m，若g（x）有一个零点，则m的取值范围是（　　）

A.（﹣∞，1]	B.（﹣∞，1）
C.．[1，+∞）	D.．（1，+∞）

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7. （本题3分）正三棱锥S﹣ABC侧棱长为1，E，F分别是SA，SC上的动点，当△BEF周长的最小值为

时，三棱锥的侧面积为（　　）

B.1

C.．

D.．2

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8. （本题3分）设函数f（x）＝x²﹣（m+n）lnx﹣（m+n﹣2）x，其中mn＞0，若f（x）有两个零点且m+n取最小整数P时，

的最小值为（　　）

C.．

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二、多选题(3小题共9分)

9. （本题3分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（　　）

A.	B.
C.	D.

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10. （本题3分）已知F是抛物线C：y²＝4x的焦点，l是C的准线，点N是C上一点且位于第一象限，直线FN与圆A：x²+y²﹣6x+7＝0相切于点E，点E在线段FN上，过点N作l的垂线，垂足为P，则以下结论正确的是（　　）

B.．直线FN的方程为x﹣y﹣1＝0

C.．

D.．△PFN的面积为

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11. （本题3分）数列{a_n}满足前两项都是1，之后每项都等于它前面两项之和，这就是著名的斐波那契数列，若{a_n}的前n项和为S_n，下列关于斐波那契数列说法正确的是（　　）

A.S₂₀₂₂+1＝a₂₀₂₄

B.若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{b_n}，则{b_n}的前2024项之和为2697

C.前2024项中奇数共有1350个

D.．

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三、填空题(3小题共12分)

12. （本题4分）数列{a_n}的通项公式a_n＝2n+1，则a₁+a₃+a₅+⋯+a_2n+1＝　．

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13. （本题4分）．已知α，β满足

，

，则sin（α+β）＝　．

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14. （本题4分）．近年来，西安因为影视剧而变为网红城市，长安十二时辰主题街区成为西安一张靓丽的名片，根据马伯庸的小说《长安十二时辰》同名改编的电视剧中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息，望楼传递信息的方式如下：如图所示，信号旗的旗面为九宫格，每个小方格可以在白色和黑色之间变换，从而一共可以有　　种不同的颜色组合来传递不同的信息．若要求最多出现3个黑色格子，那么一共可以传递　　种不同的信息．

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四、解答题(5小题共55分)

15. （本题10分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

，D为BC上一动点．
（1）若AD平分∠BAC，求证：

；
（2）若D为BC上靠近B的三等分点，当c＝2，b＝1时，求AD的长．

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16. （本题10分）．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝（x﹣1）²sin4+a﹣1．
（1）记f（x）的导数为f′（x），求

的值，其中n∈N₊；
（2）若∀x₁，x₂∈（0，+∞）恒有f（x₁）≥g（x₂），求a的取值范围．

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17. （本题10分）如图三棱锥P﹣ABC中，四个面均为直角三角形，其中∠APB＝∠APC＝∠ABC＝∠PBC＝90°，且PA＝PB＝BC＝1．取BC中点为E，过E作EF⊥PC于点F．
（1）证明：EF⊥AC；
（2）求平面PAC与平面ABC夹角的正弦值．

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18. （本题10分）某商场进行抽奖活动，设置摸奖箱内有红球1个，白球2个，黑球3个，小球除颜色外没有任何区别．规定：摸到红球记1分，摸到白球记0分，摸到黑球记﹣1分．抽奖人摸3个球为一次抽奖，总分记为X，若X≥0，则获奖．
方案一：从中一次摸1个球，记录分数后不放回．
方案二：从中一次摸1个球，记录分数后放回．
（1）若甲顾客按照方案一摸球记分，求甲顾客获奖的概率；
（2）若乙顾客按照方案一摸球记分，求第二次摸到红球条件下，乙顾客获奖的概率；
（3）若丙顾客按照方案二摸球记分，求X的分布列和数学期望．

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19. （本题15分）已知圆锥曲线G：Ax²+By²+2Dx+2Ey+F＝0，称点P（x₀，y₀）和直线l：Ax₀x+By₀y+D（x+x₀）+E（y+y₀）+F＝0是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以x₀x替换x²，以

替换x（另一变量y也是如此）．特别地，对于椭圆

，点P（x₀，y₀）对应的极线方程为

．已知椭圆C：

，椭圆C的左、右焦点分别为F₁、F₂．
（1）若极点

对应的极线l为

，求椭圆C的方程；
（2）当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线；
（3）已知P是直线

上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当

时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由．

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dygzsxyn

2025-03-15

高中数学 | 模考 | 难度:1.84

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