如图三棱锥中四个面均为直角三角形其中且取中点为过作于点证明求平面与平面夹角的正弦值

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230495. （2025•长安区•一模）如图三棱锥P﹣ABC中，四个面均为直角三角形，其中∠APB＝∠APC＝∠ABC＝∠PBC＝90°，且PA＝PB＝BC＝1．取BC中点为E，过E作EF⊥PC于点F．
（1）证明：EF⊥AC；
（2）求平面PAC与平面ABC夹角的正弦值．

共享时间:2025-03-15 难度:1

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[考点]

空间向量法求解二面角及两平面的夹角，

[答案]

（1）证明见解析；（2）

．

[解析]

解：（1）证明：三棱锥P﹣ABC中，由PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，PB，PC⊂平面PBC，
得PA⊥平面PBC，而EF⊂平面PBC，
则PA⊥EF，又EF⊥PC，
PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，
因此EF⊥平面PAC，而AC⊂平面PAC，
所以EF⊥AC．
（2）过点B作Bx∥PA，由（1）知Bx⊥平面PBC，又∠PBC＝90°，则直线Bx，BC，BP两两垂直，
以点B为原点，直线Bx，BC，BP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A（1，0，1），B（0，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），

，
设平面PAC的法向量

，
则

，则

，
取c＝1，得

，
设平面BAC的法向量

，
则

，则

，
取x＝1，得

，
设平面PAC与平面ABC的夹角为θ，则

，
所以平面PAC与平面ABC夹角的正弦值

．

[点评]

本题考查了"空间向量法求解二面角及两平面的夹角，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

166447. （2024•西工大附中•高三上二月）已知边长为4的菱形ABCD（如图1），

与BD相交于点O，E为线段AO上一点，将三角形ABD沿BD折叠成三棱锥A﹣BCD（如图2）．
（1）证明：BD⊥CE；
（2）若三棱锥A﹣BCD的体积为8，二面角B﹣CE﹣O的余弦值为

，求OE的长．

共享时间:2024-12-24 难度:1 相似度:2

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166329. （2024•西安中学•高二上二月）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝2，PA＝BC＝1．
（1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；
（2）求平面PCD与平面PBA所成角的余弦值；

共享时间:2024-12-23 难度:2 相似度:1.5

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231830. （2025•西工大附中•高二下一月）如图，在三棱柱ABC﹣DEF中，AD＝DE＝2，EF＝BF＝

，DF＝2

，∠BAD＝

．
（1）证明：平面CBEF⊥平面ABED．
（2）求二面角F﹣AB﹣C的正弦值．

共享时间:2025-04-10 难度:2 相似度:1.5

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230477. （2025•西安中学•二模）如图1，△ABC是等边三角形，△DAC为等腰直角三角形，

，将△DAC沿AC翻折到△PAC的位置，且点P不在平面ABC内（如图2），点F在线段PB上（不含端点）．
（1）证明：AC⊥PB；
（2）若直线PC与AB所成角的余弦值为

．
（i）当直线PB与平面ACF所成角为60°时，求PF；
（ii）设平面ACF与平面PBC的夹角为α，求cosα的取值范围．

共享时间:2025-03-19 难度:2 相似度:1.5

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171395. （2023•西安中学•高二上期中）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，AB＝4，EF∥AB，AB＝2EF，EA＝ED＝FB＝FC＝3．
（1）当点N为线段AD的中点时，求证：直线AD⊥平面EFN；
（2）当点N在线段AD上时（包含端点），求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围．

共享时间:2023-11-16 难度:2 相似度:1.5

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171067. （2024•高新一中•高二上期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3，E为PD的中点，点F在PC上，且

．
（1）求证：AE⊥平面PCD；
（2）求二面角F﹣AE﹣D的正弦值；
（3）设点G在PB上，且

．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

共享时间:2024-11-27 难度:2 相似度:1.5

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171047. （2025•高新一中•高二下期中）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2菱形，∠ADC＝60°，E，F分别是AB，PD的中点．
（1）求证：EF∥平面PBC；
（2）若PC⊥AB，PC＝

，PB＝2，求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值．

共享时间:2025-04-30 难度:2 相似度:1.5

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171028. （2025•高新一中•高二下期中）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2菱形，∠ADC＝60°，E，F分别是AB，PD的中点．
（1）求证：EF∥平面PBC；
（2）若PC⊥AB，PC＝

，PB＝2，求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值．

共享时间:2025-04-23 难度:2 相似度:1.5

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169330. （2025•西安八十五中•高二上期末）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，四边形AA₁C₁C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB＝3，BC＝5．
（1）求证：BB₁⊥平面ABC；
（2）求平面A₁C₁B与平面B₁C₁B夹角的余弦值．

共享时间:2025-02-15 难度:2 相似度:1.5

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166893. （2024•高新一中•五模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，△ABC是边长为

的等边三角形，AD＝2，

．
（1）证明：平面PCD⊥平面PBC；
（2）若平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为

，求PC的长．

共享时间:2024-05-13 难度:2 相似度:1.5

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166642. （2024•高新一中•高三上五月）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，△ABC是边长为

的等边三角形，AD＝2，

．
（1）证明：平面PCD⊥平面PBC；
（2）若平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为

，求PC的长．

共享时间:2024-12-26 难度:2 相似度:1.5

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166525. （2024•城关中学•高二上二月）已知四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，A₁A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB＝AA₁＝2，AD＝DC＝1．N是B₁C₁的中点，M是DD₁的中点．
（1）求证D₁N∥平面CB₁M；
（2）求平面CB₁M与平面BB₁CC₁的夹角余弦值．

共享时间:2024-12-24 难度:2 相似度:1.5

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166506. （2024•铁一中学•高二上二月）如图，在四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为矩形，

为A₁B₁的中点，且EB＝ED，C₁E⊥BE．
（1）证明：①C₁E⊥平面BDE；
②EA＝EC．
（2）若AB₁＝3，求平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值．

共享时间:2024-12-24 难度:2 相似度:1.5

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233119. （2023•西安八十五中•高二上一月）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，

．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P﹣CD﹣B的大小．

共享时间:2023-10-28 难度:2 相似度:1.5

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169312. （2025•铁一中学•高二上期末）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AB＝AC＝CD＝2BE＝4，BE∥CD，CD⊥CB，AB⊥AC，平面ABC⊥平面BCDE，O为BC中点．
（1）证明：AO⊥平面BCDE；
（2）求平面ABC与平面ADE夹角的余弦值；
（3）线段AC上是否存在一点Q，使OQ∥平面ADE？如果不存在，请说明理由；如果存在，求