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2022-2023学年陕西省西安中学高二（上）期中数学试卷（理科）

试卷总分:120分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共48分)

1. （本题4分）已知x，y∈R，命题“若x²+y²＝0，则x，y全为0”的否命题是（　　）

A.若x²+y²≠0，则x，y全不为0

B.若x，y不全为0，则x²+y²≠0

C.若x²+y²≠0，则x，y不全为0

D.若x²+y²＝0，则x，y全不为0

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2. （本题4分）双曲线

﹣

＝1的渐近线方程为（　　）

A.y＝±

B.．y＝±

C.y＝±

D.y＝±

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3. （本题4分）命题“∀x＞1，x²﹣1＞0”的否定形式是（　　）

A.∀x＞1，x²﹣1≤0	B.∀x≤1，x²﹣1≤0
C.∃x＞1，x²﹣1≤0	D.∃x≤1，x²﹣1≤0

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4. （本题4分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，M为BC的中点，N为A₁C₁靠近A₁的三等分点，设

，

，则用

，

表示

为（　　）

B.．

D.．

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5. （本题4分）已知△ABC的周长为12，B（0，﹣2），C（0，2），则顶点A的轨迹方程为（　　）

A.（x≠0）	B.．（y≠0）
C.．（x≠0）	D.．（y≠0）

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6. （本题4分）设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（　　）

A.充分不必要条件	B.必要不充分条件
C.充要条件	D.．既不充分也不必要条件

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7. （本题4分）已知命题p：∃x∈R，x²﹣x+1≥0．命题q：若a²＜b²，则a＜b，下列命题为真命题的是（　　）

A.p∧q

B.p∧（￢q）

C.（￢p）∧q

D.．（￢p）∧（￢q）

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8. （本题4分）

，若

三向量共面，则实数x＝（　　）

A.．3

B.2

C.．15

D.．5

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9. （本题4分）点P在抛物线y²＝4x上，则P到直线x＝﹣1的距离与到直线3x﹣4y+12＝0的距离之和的最小值为（　　）

A.．4

B.3

C.．2

D.．1

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10. （本题4分）如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，O是AC中点，点P在线段A₁C₁上，若直线OP与平面A₁BC₁所成的角为θ，则sinθ的取值范围是（　　）

B.．

C.．

D.．

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11. （本题4分）已知双曲线C：

，F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，M是双曲线右支上一点，连接MF₁交双曲线C左支于点N，若△MNF₂是以F₂为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（　　）

C.．2

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12. （本题4分）数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C：x²+y²＝1+|x|y就是其中之一（如图4），给出下列三个结论：
①曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3；
②曲线C恰好经过8个整点；（即横、纵坐标均为整数的点）
③曲线C上任意一点到原点的距离都不超过

．
其中，所有正确结论的序号是（　　）

A.①②

B.①③

C.．③

D.①

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二、填空题(4小题共28分)

13. （本题7分）已知a，b∈R，则“a和b都是偶数”是“a+b是偶数”的　　条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）

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14. （本题7分）如图，平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是边长为1的正方形，且∠A₁AD＝∠A₁AB＝60°，AA₁＝2，则线段AC₁的长为　．

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15. （本题7分）公元前3世纪，阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中明确给出了椭圆和圆的一个基本性质：如图，过椭圆（或圆）上任意一点P（不同于A，B）作长轴（或直径）AB的一条垂线段，垂足为Q，则

为常数k．若此图形为圆，则k＝　　；若

，则此图形的离心率为　．

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16. （本题7分）如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
①

；
②∠BAC＝60°；
③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥；
④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．
其中正确结论的序号是　　．（请把正确结论的序号都填上）

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三、解答题(5小题共44分)

17. （本题8分）已知空间向量

＝（2，4，﹣2），

＝（﹣1，0，2），

＝（x，2，﹣1）．
（Ⅰ）若

∥

，求

；
（Ⅱ）若

⊥

，求cos＜

，

＞的值．

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18. （本题8分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分别是DD₁，BD，BB₁的中点．
（1）求证：EF⊥CF；
（2）求EF与CG所成角的余弦值．

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19. （本题8分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知曲线C上任意一点P（x，y）（其中x≥0）到定点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于不同的A，B两点，求

的值；
（3）若曲线C上不同的两点M、N满足

，求

的取值范围．

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20. （本题10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D、E分别是AC、AB上的点，满足DE∥BC且DE经过△ABC的重心，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，M是A₁D的中点，如图所示．
（1）求证：A₁C⊥平面BCDE；
（2）求CM与平面A₁BE所成角的大小；
（3）在线段A₁B上是否存在点N（N不与端点A₁、B重合），使平面CMN与平面DEN垂直？若存在，求出A₁N与BN的比值；若不存在，请说明理由．

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21. （本题10分）已知椭圆M：

的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点

．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若直线y＝kx+m（k≠0）与圆E：x²+y²＝

相切于点P，且交椭圆M于A，B两点，射线OP于椭圆M交于点Q，设△OAB的面积与△QAB的面积分别为S₁，S₂．
①求S₁的最大值；
②当S₁取得最大值时，求

的值．

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2022-11-28

高中数学 | 考试 | 难度:1.76

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